We consider the problem of learning the structure underlying a Gaussian graphical model when the variables (or subsets thereof) are corrupted by independent noise. A recent line of work establishes that even for tree-structured graphical models, only partial structure recovery is possible and goes on to devise algorithms to identify the structure up to an (unavoidable) equivalence class of trees. We extend these results beyond trees and consider the model selection problem under noise for non tree-structured graphs, as tree graphs cannot model several real-world scenarios. Although unidentifiable, we show that, like the tree-structured graphs, the ambiguity is limited to an equivalence class. This limited ambiguity can help provide meaningful clustering information (even with noise), which is helpful in computer and social networks, protein-protein interaction networks, and power networks. Furthermore, we devise an algorithm based on a novel ancestral testing method for recovering the equivalence class. We complement these results with finite sample guarantees for the algorithm in the high-dimensional regime.

当无法获得网络结构知识并且知识仅限于粗略摘要时，我们考虑大规模线性网络动力学系统的可控性。我们提供条件下，通过（合成，减少）粗尺度系统的平均可控性可以很好地近似细尺度系统的平均可控性。为此，我们需要了解精细尺度网络的某些固有参数结构，这使这种类型的近似结构成为可能。因此，我们假设潜在的细尺度网络是由随机块模型（SBM）生成的 - 经常在社区检测中进行研究。然后，我们提供了一种算法，该算法直接使用SBM的粗摘要直接估算细尺度系统的平均可控性。我们的分析表明，基本结构（例如，内建立的社区）的必要性能够准确地量化从粗体表征的网络动力学中的可控性。我们还将我们的方法与减少订单方法的方法进行比较，并突出显示了双方都可以相互表现的制度。最后，我们提供了模拟，以确认网络大小和密度不同尺度的理论结果，以及捕获粗略摘要中保留多少社区结构的参数。

众所周知，许多网络系统，例如电网，大脑和舆论动态社交网络，都可以遵守保护法。这种现象的例子包括电网中的基尔乔夫法律和社交网络中的意见共识。网络系统中的保护定律可以建模为$ x = b^{*} y $的平衡方程，其中$ b^{*} $的稀疏模式捕获了网络的连接，$ y，x \在\ mathbb {r}^p $中分别是节点上“电势”和“注入流”的向量。节点电位$ y $会导致跨边缘的流量，并且在节点上注入的流量$ x $是网络动力学的无关紧要的。在几个实用的系统中，网络结构通常是未知的，需要从数据估算。为此，可以访问节点电位$ y $的样本，但只有节点注射$ x $的统计信息。在这个重要问题的激励下，我们研究了$ n $ y $ y $ y $ y $ y $ y $ y $ y $ b^{*} $稀疏结构的估计，假设节点注射$ x $遵循高斯分布，并带有已知的发行协方差$ \ sigma_x $。我们建议在高维度中为此问题的新$ \ ell_ {1} $ - 正则最大似然估计器，网络的大小$ p $大于样本量$ n $。我们表明，此优化问题是目标中的凸，并接受了独特的解决方案。在新的相互不一致的条件下，我们在三重$（n，p，d）$上建立了足够的条件，对于$ b^{*} $的精确稀疏恢复是可能的； $ d $是图的程度。我们还建立了在元素最大，Frobenius和运营商规范中回收$ b^{*} $的保证。最后，我们通过对拟议估计量对合成和现实世界数据的性能进行实验验证来补充这些理论结果。