A new method for solving the wave equation is presented, called the learned Born series (LBS), which is derived from a convergent Born Series but its components are found through training. The LBS is shown to be significantly more accurate than the convergent Born series for the same number of iterations, in the presence of high contrast scatterers, while maintaining a comparable computational complexity. The LBS is able to generate a reasonable prediction of the global pressure field with a small number of iterations, and the errors decrease with the number of learned iterations.

在对地下地震成像的研究中，求解声波方程是现有模型中的关键成分。随着深度学习的发展，神经网络通过学习输入和方程解决方案之间的映射，特别是波动方程式，将神经网络应用于数值求解部分微分方程，因为如果要花很多时间，传统方法可能会很耗时解决了。以前专注于通过神经网络解决波动方程的工作考虑单个速度模型或多个简单速度模型，这在实践中受到限制。因此，受操作员学习的构想的启发，这项工作利用了傅立叶神经操作员（FNO）在可变速度模型的背景下有效地学习频域地震波场。此外，我们提出了一个与傅立叶神经操作员（PFNO）并行的新框架，以有效地训练基于FNO的求解器，给定多个源位置和频率。数值实验证明了OpenFWI数据集中使用复杂速度模型的FNO和PFNO的高精度。此外，跨数据集泛化测试验证了PFNO适应过分速度模型的。同样，在标签中存在随机噪声的情况下，PFNO具有强大的性能。最后，与传统的有限差异方法相比，PFNO在大规模测试数据集上接受了更高的计算效率。上述优势赋予了基于FNO的求解器的潜力，可以为地震波研究建立强大的模型。

我们提出了一个开源的可区分的声学模拟器J-Wave，可以解决时变和时谐音的声学问题。它支持自动差异化，这是一种具有许多应用程序的程序转换技术，尤其是在机器学习和科学计算中。J-Wave由模块化组件组成，可以轻松定制和重复使用。同时，它与一些最受欢迎的机器学习库（例如JAX和TensorFlow）兼容。对于广泛使用的K-Wave工具箱和一系列声学仿真软件，评估了已知配置的仿真结果的准确性。可从https://github.com/ucl-bug/jwave获得J-Wave。

We consider the inverse acoustic obstacle problem for sound-soft star-shaped obstacles in two dimensions wherein the boundary of the obstacle is determined from measurements of the scattered field at a collection of receivers outside the object. One of the standard approaches for solving this problem is to reformulate it as an optimization problem: finding the boundary of the domain that minimizes the $L^2$ distance between computed values of the scattered field and the given measurement data. The optimization problem is computationally challenging since the local set of convexity shrinks with increasing frequency and results in an increasing number of local minima in the vicinity of the true solution. In many practical experimental settings, low frequency measurements are unavailable due to limitations of the experimental setup or the sensors used for measurement. Thus, obtaining a good initial guess for the optimization problem plays a vital role in this environment. We present a neural network warm-start approach for solving the inverse scattering problem, where an initial guess for the optimization problem is obtained using a trained neural network. We demonstrate the effectiveness of our method with several numerical examples. For high frequency problems, this approach outperforms traditional iterative methods such as Gauss-Newton initialized without any prior (i.e., initialized using a unit circle), or initialized using the solution of a direct method such as the linear sampling method. The algorithm remains robust to noise in the scattered field measurements and also converges to the true solution for limited aperture data. However, the number of training samples required to train the neural network scales exponentially in frequency and the complexity of the obstacles considered. We conclude with a discussion of this phenomenon and potential directions for future research.

求解电磁逆散射问题（ISP）由于内在的非线性，呈不良和昂贵的计算成本，挑战。最近，深神经网络（DNN）技术已经成功地应用于ISP上，并在传统方法上示出了优异成像的电位。在本文中，我们分析了DNN溶剂和传统迭代算法之间的类比，并讨论了在训练过程中不能有效地纳入重要的物理现象。我们展示了在DNN的学习过程中包括近端前瞻的重要性。为此，我们提出了新的损耗功能设计，其包括基于多散射的近场数量（例如散射场或感兴趣领域内的诱导电流）。使用各种数值实验研究了物理引导功能的影响。总结了调查的ISP求解器的利弊，综述了不同损失功能。

In photoacoustic tomography (PAT) with flat sensor, we routinely encounter two types of limited data. The first is due to using a finite sensor and is especially perceptible if the region of interest is large relative to the sensor or located farther away from the sensor. In this paper, we focus on the second type caused by a varying sensitivity of the sensor to the incoming wavefront direction which can be modelled as binary i.e. by a cone of sensitivity. Such visibility conditions result, in the Fourier domain, in a restriction of both the image and the data to a bow-tie, akin to the one corresponding to the range of the forward operator. The visible wavefrontsets in image and data domains, are related by the wavefront direction mapping. We adapt the wedge restricted Curvelet decomposition, we previously proposed for the representation of the full PAT data, to separate the visible and invisible wavefronts in the image. We optimally combine fast approximate operators with tailored deep neural network architectures into efficient learned reconstruction methods which perform reconstruction of the visible coefficients and the invisible coefficients are learned from a training set of similar data.

监督运营商学习是一种新兴机器学习范例，用于建模时空动态系统的演变和近似功能数据之间的一般黑盒关系的应用。我们提出了一种新颖的操作员学习方法，LOCA（学习操作员耦合注意力），激励了最近的注意机制的成功。在我们的体系结构中，输入函数被映射到有限的一组特征，然后按照依赖于输出查询位置的注意重量平均。通过将这些注意重量与积分变换一起耦合，LOCA能够明确地学习目标输出功能中的相关性，使我们能够近似非线性运算符，即使训练集测量中的输出功能的数量非常小。我们的配方伴随着拟议模型的普遍表现力的严格近似理论保证。经验上，我们在涉及普通和部分微分方程的系统管理的若干操作员学习场景中，评估LOCA的表现，以及黑盒气候预测问题。通过这些场景，我们展示了最先进的准确性，对噪声输入数据的鲁棒性以及在测试数据集上始终如一的错误传播，即使对于分发超出预测任务。

标准的神经网络可以近似一般的非线性操作员，要么通过数学运算符的组合（例如，在对流 - 扩散反应部分微分方程中）的组合，要么仅仅是黑匣子，例如黑匣子，例如一个系统系统。第一个神经操作员是基于严格的近似理论于2019年提出的深层操作员网络（DeepOnet）。从那时起，已经发布了其他一些较少的一般操作员，例如，基于图神经网络或傅立叶变换。对于黑匣子系统，对神经操作员的培训仅是数据驱动的，但是如果知道管理方程式可以在培训期间将其纳入损失功能，以开发物理知识的神经操作员。神经操作员可以用作设计问题，不确定性量化，自主系统以及几乎任何需要实时推断的应用程序中的代替代物。此外，通过将它们与相对轻的训练耦合，可以将独立的预训练deponets用作复杂多物理系统的组成部分。在这里，我们介绍了Deponet，傅立叶神经操作员和图神经操作员的评论，以及适当的扩展功能扩展，并突出显示它们在计算机械师中的各种应用中的实用性，包括多孔媒体，流体力学和固体机制， 。

电磁（EM）成像广泛用于感应安全性，生物医学，地球物理学和各种行业。这是一个不当的逆问题，其解决方案通常在计算上昂贵。机器学习（ML）技术，尤其是深度学习（DL）在快速准确的成像中显示出潜力。但是，纯粹的数据驱动方法的高性能依赖于构建与实用方案一致的训练集，而在EM成像任务中通常不可能。因此，普遍性成为主要问题。另一方面，物理原理是EM现象的基础，并为当前的成像技术提供了基准。为了从大数据中的先验知识和物理定律的理论约束中受益，物理学嵌入的ML成像方法已成为近期大量工作的重点。本文调查了各种方案，以将物理学纳入基于学习的EM成像中。我们首先介绍有关逆问题的EM成像和基本公式的背景。然后，我们专注于将物理和ML进行线性和非线性成像组合的三种类型的策略，并讨论它们的优势和局限性。最后，我们在这个快速发展的领域中以公开的挑战和可能的前进方式得出结论。我们的目的是促进将有效，可解释和可控制的智能EM成像方法的研究。

线性系统的迭代求解器是部分微分方程（PDE）的数值解的关键组件。过去几十年来一直进行了深入的研究，例如雅各比，高斯 - 塞德尔，共轭梯度，跨部方法及其更高级的变体，但仍有迫切需要开发更快，更强大和更可靠的求解器。基于操作员回归的科学深度学习的最新进展，我们提出了一种提示，即用于微分方程的混合，迭代，数值和可转移的求解器。提示结合了标准放松方法和深层操作员网络（DeepOnet）。与标准数值求解器相比，提示能够为宽类微分方程提供更快的解决方案，同时保留接近机器零的精度。通过本本征分析，我们发现提示中的单个求解器靶向本征谱系中的不同区域，从而导致均匀的收敛速率，从而使混合求解器的整体表现出色。此外，提示适用于多维方程，并且在计算域和可转移到不同离散化方面具有灵活性。

地震波的频域模拟在地震反演中起着重要作用，但在大型模型中仍然具有挑战性。作为有效的深度学习方法，最近提出的物理知识的神经网络（PINN）在解决广泛的偏微分方程（PDES）方面取得了成功的应用，并且在这方面仍然有改进的余地。例如，当PDE系数不平滑并描述结构复合介质时，PINN可能导致溶液不准确。在本文中，我们通过使用PINN而不是波方程来求解频域中的声学和Visco声学散射的场波方程，以消除源奇异性。我们首先说明，当在损失函数中未实现边界条件时，非平滑速度模型导致波场不准确。然后，我们在PINN的损耗函数中添加了完美匹配的层（PML）条件，并设计了二次神经网络，以克服PINN中非平滑模型的有害影响。我们表明，PML和二次神经元改善了结果和衰减，并讨论了这种改进的原因。我们还说明，在波场模拟中训练的网络可用于预先训练PDE-Coeff及时改变后另一个波场模拟的神经网络，并相应地提高收敛速度。当两次连续迭代或两个连续的实验之间的模型扰动时，这种预训练策略应在迭代全波形反转（FWI）和时置目标成像中找到应用。

傅里叶神经运营商（FNO）是一种基于学习的方法，用于有效地模拟部分微分方程。我们提出了分解的傅立叶神经运营商（F-FNO），允许与更深的网络更好地推广。通过仔细组合傅里叶分解，跨所有层，Markov属性和残差连接的共享内核积分运算符，F-FNOS在Navier-Stokes基准数据集的最动力设置上达到六倍的误差。我们表明我们的模型保持了2％的错误率，同时仍然比数值求解器更快地运行幅度，即使问题设置扩展到包括诸如粘度和时变力的附加上下文，也是如此。这使得与相同的预制神经网络能够模拟巨大不同的条件。

部分微分方程（PDE）参见在科学和工程中的广泛使用，以将物理过程的模拟描述为标量和向量场随着时间的推移相互作用和协调。由于其标准解决方案方法的计算昂贵性质，神经PDE代理已成为加速这些模拟的积极研究主题。但是，当前的方法并未明确考虑不同字段及其内部组件之间的关系，这些关系通常是相关的。查看此类相关场的时间演变通过多活动场的镜头，使我们能够克服这些局限性。多胎场由标量，矢量以及高阶组成部分组成，例如双分数和三分分射线。 Clifford代数可以描述它们的代数特性，例如乘法，加法和其他算术操作。据我们所知，本文介绍了此类多人表示的首次使用以及Clifford的卷积和Clifford Fourier在深度学习的背景下的转换。由此产生的Clifford神经层普遍适用，并将在流体动力学，天气预报和一般物理系统的建模领域中直接使用。我们通过经验评估克利福德神经层的好处，通过在二维Navier-Stokes和天气建模任务以及三维Maxwell方程式上取代其Clifford对应物中常见的神经PDE代理中的卷积和傅立叶操作。克利福德神经层始终提高测试神经PDE代理的概括能力。

泊松方程至关重要，以获得用于霍尔效应推进器和炉射线放电的等离子体流体模拟中的自我一致的解决方案，因为泊松解决方案看起来是不稳定的非线性流动方程的源期。作为第一步，使用多尺度架构研究了使用深神经网络的零小小的边界条件的求解2D泊松方程，以分支机构，深度和接收领域的数量定义。一个关键目标是更好地了解神经网络如何学习泊松解决方案，并提供指导方针来实现最佳网络配置，特别是当耦合到具有等离子体源术语的时变欧拉方程时。这里，发现接收领域对于正确捕获场的大拓扑结构至关重要。对多种架构，损失和封锁的调查提供了最佳的网络来准确解决稳定的泊松问题。然后在具有越来越多的节点的网格上监测称为Plasmanet的最佳神经网络求解器的性能，并与经典平行的线性溶剂进行比较。接下来，在电子等离子体振荡测试盒的上下文中，Plasmanet与不稳定的欧拉等离子体流体方程求解器联接。在这一时间不断发展的问题中，需要物理损失来产生稳定的模拟。最终测试了涉及化学和平流的更复杂的放电繁殖案例。应用了先前部分中建立的指导方针，以构建CNN，以解决具有不同边界条件的圆柱形坐标中的相同泊松方程。结果揭示了良好的CNN预测，并利用现代GPU的硬件铺平了新的计算策略，以预测涉及泊松方程的不稳定问题。

近年来，深入学习技术已被用来解决部分微分方程（PDE），其中物理信息的神经网络（PINNS）出现是解决前向和反向PDE问题的有希望的方法。具有点源的PDE，其表示为管理方程中的DIRAC DELTA函数是许多物理过程的数学模型。然而，由于DIRAC DELTA功能所带来的奇点，它们不能直接通过传统的PINNS方法来解决。我们提出了一种普遍的解决方案，以用三种新颖的技术解决这个问题。首先，DIRAC DELTA功能被建模为连续概率密度函数以消除奇点;其次，提出了下限约束的不确定性加权算法，以平衡点源区和其他区域之间的Pinns损失;第三，使用具有周期性激活功能的多尺度深度神经网络来提高PinnS方法的准确性和收敛速度。我们评估了三种代表性PDE的提出方法，实验结果表明，我们的方法优于基于深度学习的方法，涉及准确性，效率和多功能性。

从密集的气体区域找到稀有气体区域的扩展流体动力学方程仍然是一个很大的挑战。成功的关键是获得准确的构成关系，用于应力和热量通量。最近的数据驱动模型提供了一种从数据学习本构关系的新现象学方法。这种模型使得复杂的本构关系使牛顿粘度和傅里叶的热传导定律扩展，通过更高衍生物的回归。然而，这些模型中的衍生物的选择是ad-hoc，而没有明确的物理解释。我们从理论上调查了数据驱动的模型在线性系统。我们认为这些模型相当于运输系数的非线性长度比例缩放规律。缩放法律的等价证明了物理合理性，并揭示了数据驱动模型的限制。我们的论点还指出，建模缩放法则明确可以避免数据驱动模型中的实际困难，如巨大数据的衍生估计和变量选择。我们进一步提出了一种基于缩放法的构成关系模型，并测试了瑞利散射光谱的计算。结果显示数据驱动的模型在第一次上的Chapman-Enskog扩展和时刻方法具有明显的优势。

我们提出了一种使用一组我们称为神经基函数（NBF）的神经网络来求解部分微分方程（PDE）的方法。这个NBF框架是POD DeepOnet操作方法的一种新颖的变化，我们将一组神经网络回归到降低的阶正合成分解（POD）基础上。然后将这些网络与分支网络结合使用，该分支网络摄入规定的PDE的参数以计算降低的订单近似值。该方法适用于高速流条件的稳态EULER方程（Mach 10-30），在该方程式中，我们考虑了围绕圆柱体的2D流，从而形成了冲击条件。然后，我们将NBF预测用作高保真计算流体动力学（CFD）求解器（CFD ++）的初始条件，以显示更快的收敛性。还将介绍用于培训和实施该算法的经验教训。

神经网络的经典发展主要集中在有限维欧基德空间或有限组之间的学习映射。我们提出了神经网络的概括，以学习映射无限尺寸函数空间之间的运算符。我们通过一类线性积分运算符和非线性激活函数的组成制定运营商的近似，使得组合的操作员可以近似复杂的非线性运算符。我们证明了我们建筑的普遍近似定理。此外，我们介绍了四类运算符参数化：基于图形的运算符，低秩运算符，基于多极图形的运算符和傅里叶运算符，并描述了每个用于用每个计算的高效算法。所提出的神经运营商是决议不变的：它们在底层函数空间的不同离散化之间共享相同的网络参数，并且可以用于零击超分辨率。在数值上，与现有的基于机器学习的方法，达西流程和Navier-Stokes方程相比，所提出的模型显示出卓越的性能，而与传统的PDE求解器相比，与现有的基于机器学习的方法有关的基于机器学习的方法。

在科学和工程应用中，通常需要反复解决类似的计算问题。在这种情况下，我们可以利用先前解决的问题实例中的数据来提高查找后续解决方案的效率。这提供了一个独特的机会，可以将机器学习（尤其是元学习）和科学计算相结合。迄今为止，文献中已经提出了各种此类域特异性方法，但是设计这些方法的通用方法仍然不足。在本文中，我们通过制定一个通用框架来描述这些问题，并提出一种基于梯度的算法来以统一的方式解决这些问题。作为这种方法的说明，我们研究了迭代求解器的适应性参数的自适应生成，以加速微分方程的溶液。我们通过理论分析和数值实验来证明我们方法的性能和多功能性，包括应用于不可压缩流量模拟的应用以及参数估计的逆问题。

Graphene quantum dots provide a platform for manipulating electron behaviors in two-dimensional (2D) Dirac materials. Most previous works were of the "forward" type in that the objective was to solve various confinement, transport and scattering problems with given structures that can be generated by, e.g., applying an external electrical field. There are applications such as cloaking or superscattering where the challenging problem of inverse design needs to be solved: finding a quantum-dot structure according to certain desired functional characteristics. A brute-force search of the system configuration based directly on the solutions of the Dirac equation is computational infeasible. We articulate a machine-learning approach to addressing the inverse-design problem where artificial neural networks subject to physical constraints are exploited to replace the rigorous Dirac equation solver. In particular, we focus on the problem of designing a quantum dot structure to generate both cloaking and superscattering in terms of the scattering efficiency as a function of the energy. We construct a physical loss function that enables accurate prediction of the scattering characteristics. We demonstrate that, in the regime of Klein tunneling, the scattering efficiency can be designed to vary over two orders of magnitudes, allowing any scattering curve to be generated from a proper combination of the gate potentials. Our physics-based machine-learning approach can be a powerful design tool for 2D Dirac material-based electronics.