大规模或高分辨率的地质模型通常包括大量的网格块，这可以用数值模拟器来计算努力解决和耗时。因此，从精细尺寸（高分辨率网格）到粗尺寸系统是有利的高度地质模型（例如，液压导电性）。已经证明了数值上升方法对于粗化地质模型有效和鲁棒，但它们的效率仍有待改善。在这项工作中，提出了一种基于深度学习的方法来高档细尺地质模型，可以有助于提高上升效率。在深度学习方法中，训练了深度卷积神经网络（CNN）以近似液压导电场和液压头之间的粗网之间的关系，然后可以利用来替换数值求解器，同时求解每个求解流量方程粗块。此外，物理法律（例如，控制方程式和周期性边界条件）也可以纳入深度CNN模型的训练过程，该模型被称为理论引导的卷积神经网络（TGCNN）。通过考虑的物理信息，可以大大减少对训练的数据量的依赖性。引入了几种地下流箱，以测试所提出的基于深度学习的升高方法的性能，包括2D和3D病例，同向同位素和各向异性案例。结果表明，深度学习方法可以为数值方法提供等效的升高精度，与数值上升相比，可以显着提高效率。

我们构建具有多个垂直产生井的动态3D地下单相流动问题的代理模型。替代模型在给定随机渗透性场，任意井位置和穿透长度以及作为输入的时间戳矩阵的任何时间，提供了整个形成的有效压力估计。然后可以基于Peaceman的公式确定井生产速率或底部孔压力。使用卷积编码器解码器神经网络架构将原始代理建模任务转换为图像到图像回归问题。以其离散形式的控制流程方程的残余纳入损失函数，以施加模型训练过程的理论指导。结果，与完全数据驱动的模型相比，培训的代理模型的准确性和泛化能力显着提高。它们也显示出具有不同统计数据的渗透性场具有灵活的外推能力。代理模型用于考虑随机渗透性场的不确定性量化，以及基于有限的井生产数据和地层性能观察数据推断未知的渗透信息。结果显示与传统的数值模拟工具有关，但计算效率大大提高。

在本文中，我们根据卷积神经网络训练湍流模型。这些学到的湍流模型改善了在模拟时为不可压缩的Navier-Stokes方程的溶解不足的低分辨率解。我们的研究涉及开发可区分的数值求解器，该求解器通过多个求解器步骤支持优化梯度的传播。这些属性的重要性是通过那些模型的出色稳定性和准确性来证明的，这些模型在训练过程中展开了更多求解器步骤。此外，我们基于湍流物理学引入损失项，以进一步提高模型的准确性。这种方法应用于三个二维的湍流场景，一种均匀的腐烂湍流案例，一个暂时进化的混合层和空间不断发展的混合层。与无模型模拟相比，我们的模型在长期A-posterii统计数据方面取得了重大改进，而无需将这些统计数据直接包含在学习目标中。在推论时，我们提出的方法还获得了相似准确的纯粹数值方法的实质性改进。

物理信息的神经网络（PINN）是神经网络（NNS），它们作为神经网络本身的组成部分编码模型方程，例如部分微分方程（PDE）。如今，PINN是用于求解PDE，分数方程，积分分化方程和随机PDE的。这种新颖的方法已成为一个多任务学习框架，在该框架中，NN必须在减少PDE残差的同时拟合观察到的数据。本文对PINNS的文献进行了全面的综述：虽然该研究的主要目标是表征这些网络及其相关的优势和缺点。该综述还试图将出版物纳入更广泛的基于搭配的物理知识的神经网络，这些神经网络构成了香草·皮恩（Vanilla Pinn）以及许多其他变体，例如物理受限的神经网络（PCNN），各种HP-VPINN，变量HP-VPINN，VPINN，VPINN，变体。和保守的Pinn（CPINN）。该研究表明，大多数研究都集中在通过不同的激活功能，梯度优化技术，神经网络结构和损耗功能结构来定制PINN。尽管使用PINN的应用范围广泛，但通过证明其在某些情况下比有限元方法（FEM）等经典数值技术更可行的能力，但仍有可能的进步，最著名的是尚未解决的理论问题。

基于有限元分析的传统方法已成功地用于预测在工业应用中广泛使用的异质材料（复合材料，多组分合金和多晶）的宏观行为。但是，这必须使网格大小小于材料中微结构异质性的特征长度尺度，从而导致计算昂贵且耗时的计算。基于深度学习的图像超分辨率（SR）算法的最新进展通过使研究人员能够增强从粗网格模拟获得的数据的时空分辨率来解决这一计算挑战的有希望的途径。然而，在开发高保真SR模型以应用于计算固体力学上，尤其是对于经历较大变形的材料，仍然存在技术挑战。这项工作旨在开发基于深度学习的超分辨率框架（Physrnet），该框架能够从低分辨率对应物中重建高分辨率变形场（位移和压力），而无需高分辨率标记的数据。我们设计了一项合成案例研究，以说明所提出的框架的有效性，并证明超排除的字段与高级数值求解器的准确性相匹配，以粗网格分辨率为400倍，同时满足（高度非线性）控制定律。该方法为应用机器学习和串联的传统数值方法打开了大门，以降低计算复杂性加速科学发现和工程设计。

尽管在整个科学和工程中都无处不在，但只有少数部分微分方程（PDE）具有分析或封闭形式的解决方案。这激发了有关PDE的数值模拟的大量经典工作，最近，对数据驱动技术的研究旋转了机器学习（ML）。最近的一项工作表明，与机器学习的经典数值技术的混合体可以对任何一种方法提供重大改进。在这项工作中，我们表明，在纳入基于物理学的先验时，数值方案的选择至关重要。我们以基于傅立叶的光谱方法为基础，这些光谱方法比其他数值方案要高得多，以模拟使用平滑且周期性解决方案的PDE。具体而言，我们为流体动力学的三个模型PDE开发了ML增强的光谱求解器，从而提高了标准光谱求解器在相同分辨率下的准确性。我们还展示了一些关键设计原则，用于将机器学习和用于解决PDE的数值方法结合使用。

计算流体动力学（CFD）模拟广泛应用于工程和物理学。流体动力学的标准描述需要在不同的流动方案中求解Navier-Stokes（N-S）方程。然而，CFD仿真的应用是通过高性能计算的可用性，速度和平行性计算的。为了提高计算效率，已用于为CFD创建加速数据驱动近似的机器学习技术。大多数此类方法依赖于大型标记的CFD数据集，其昂贵以在构建强大的数据驱动模型所需的规模上获得。我们使用具有边界和几何条件的多通道输入，在各种边界条件下开发一种弱监控的方法来解决各种边界条件下的稳态N-S方程。我们在没有任何标记的仿真数据的情况下实现最先进的结果，但是使用自定义数据驱动和物理信息的丢失功能，通过使用和小规模的解决方案来赋予模型来解决N-S方程。为了提高分辨率和可预测性，我们培训堆叠模型的增加复杂性为N-S方程产生数值解。没有昂贵的计算，我们的模型以各种障碍和边界条件实现了高可预测性。鉴于其高灵活性，该模型可以在64×64域内在常规桌面计算机上以5毫秒的5毫秒生成解决方案，比常规CFD求解器快1000倍。在本地消费者计算硬件上的交互式CFD仿真翻译在数据传输令人望而越令人望而越来越多，可以提高边值流体问题的尺度，速度和计算成本，可以在实时预测上进行新的应用。

事实证明，神经操作员是无限维函数空间之间非线性算子的强大近似值，在加速偏微分方程（PDE）的溶液方面是有希望的。但是，它需要大量的模拟数据，这些数据可能成本高昂，从而导致鸡肉 - 蛋的困境并限制其在求解PDE中的使用。为了摆脱困境，我们提出了一个无数据的范式，其中神经网络直接从由离散的PDE构成的平方平方残留（MSR）损失中学习物理。我们研究了MSR损失中的物理信息，并确定神经网络必须具有对PDE空间域中的远距离纠缠建模的挑战，PDE的空间域中的模式在不同的PDE中有所不同。因此，我们提出了低级分解网络（Lordnet），该网络可调节，并且也有效地建模各种纠缠。具体而言，Lordnet通过简单的完全连接的层学习了与全球纠缠的低级别近似值，从而以降低的计算成本来提取主要模式。关于解决泊松方程和纳维尔 - 长方式方程的实验表明，MSR损失的物理约束可以提高神经网络的精确度和泛化能力。此外，Lordnet在PDE中的其他现代神经网络体系结构都优于最少的参数和最快的推理速度。对于Navier-Stokes方程式，学习的运算符的速度比具有相同计算资源的有限差异解决方案快50倍。

Solute transport in porous media is relevant to a wide range of applications in hydrogeology, geothermal energy, underground CO2 storage, and a variety of chemical engineering systems. Due to the complexity of solute transport in heterogeneous porous media, traditional solvers require high resolution meshing and are therefore expensive computationally. This study explores the application of a mesh-free method based on deep learning to accelerate the simulation of solute transport. We employ Physics-informed Neural Networks (PiNN) to solve solute transport problems in homogeneous and heterogeneous porous media governed by the advection-dispersion equation. Unlike traditional neural networks that learn from large training datasets, PiNNs only leverage the strong form mathematical models to simultaneously solve for multiple dependent or independent field variables (e.g., pressure and solute concentration fields). In this study, we construct PiNN using a periodic activation function to better represent the complex physical signals (i.e., pressure) and their derivatives (i.e., velocity). Several case studies are designed with the intention of investigating the proposed PiNN's capability to handle different degrees of complexity. A manual hyperparameter tuning method is used to find the best PiNN architecture for each test case. Point-wise error and mean square error (MSE) measures are employed to assess the performance of PiNNs' predictions against the ground truth solutions obtained analytically or numerically using the finite element method. Our findings show that the predictions of PiNN are in good agreement with the ground truth solutions while reducing computational complexity and cost by, at least, three orders of magnitude.

在过去的十年中，在许多工程领域，包括自动驾驶汽车，医疗诊断和搜索引擎，甚至在艺术创作中，神经网络（NNS）已被证明是极有效的工具。确实，NN通常果断地超过传统算法。直到最近才引起重大兴趣的一个领域是使用NNS设计数值求解器，尤其是用于离散的偏微分方程。最近的几篇论文考虑使用NNS来开发多机方法，这些方法是解决离散的偏微分方程和其他稀疏矩阵问题的领先计算工具。我们扩展了这些新想法，重点关注所谓的放松操作员（也称为Smoothers），这是Multigrid算法的重要组成部分，在这种情况下尚未受到很多关注。我们探索了一种使用NNS学习带有随机系数的扩散算子的放松参数的方法，用于雅各比类型的Smoothers和4Color Gaussseidel Smoothers。后者的产量异常高效且易于使连续的放松（SOR）SmoOthors平行。此外，这项工作表明，使用两个网格方法在相对较小的网格上学习放松参数，而Gelfand的公式可以轻松实现。这些方法有效地产生了几乎最佳的参数，从而显着提高了大网格上的Multigrid算法的收敛速率。

机器学习正迅速成为科学计算的核心技术，并有许多机会推进计算流体动力学领域。从这个角度来看，我们强调了一些潜在影响最高的领域，包括加速直接数值模拟，以改善湍流闭合建模，并开发增强的减少订单模型。我们还讨论了机器学习的新兴领域，这对于计算流体动力学以及应考虑的一些潜在局限性是有希望的。

标准的神经网络可以近似一般的非线性操作员，要么通过数学运算符的组合（例如，在对流 - 扩散反应部分微分方程中）的组合，要么仅仅是黑匣子，例如黑匣子，例如一个系统系统。第一个神经操作员是基于严格的近似理论于2019年提出的深层操作员网络（DeepOnet）。从那时起，已经发布了其他一些较少的一般操作员，例如，基于图神经网络或傅立叶变换。对于黑匣子系统，对神经操作员的培训仅是数据驱动的，但是如果知道管理方程式可以在培训期间将其纳入损失功能，以开发物理知识的神经操作员。神经操作员可以用作设计问题，不确定性量化，自主系统以及几乎任何需要实时推断的应用程序中的代替代物。此外，通过将它们与相对轻的训练耦合，可以将独立的预训练deponets用作复杂多物理系统的组成部分。在这里，我们介绍了Deponet，傅立叶神经操作员和图神经操作员的评论，以及适当的扩展功能扩展，并突出显示它们在计算机械师中的各种应用中的实用性，包括多孔媒体，流体力学和固体机制， 。

具有经典数字求解器的湍流模拟需要非常高分辨率的网格来准确地解决动态。在这里，我们以低空间和时间分辨率培训学习模拟器，以捕获高分辨率产生的湍流动态。我们表明我们所提出的模型可以比各种科学相关指标的相同低分辨率的经典数字求解器更准确地模拟湍流动态。我们的模型从数据训练结束到底，能够以低分辨率学习一系列挑战性的混乱和动态动态，包括最先进的雅典娜++发动机产生的轨迹。我们表明，我们的更简单，通用体系结构优于来自所学到的湍流模拟文献的各种专业的湍流特异性架构。一般来说，我们看到学习的模拟器产生不稳定的轨迹;但是，我们表明调整训练噪音和时间下采样解决了这个问题。我们还发现，虽然超出培训分配的泛化是学习模型，训练噪声，卷积架构以及增加损失约束的挑战。广泛地，我们得出的结论是，我们所知的模拟器优于传统的求解器在较粗糙的网格上运行，并强调简单的设计选择可以提供稳定性和鲁棒的泛化。

浅水方程是大多数洪水和河流液压分析模型的基础。这些基于物理的模型通常昂贵且速度慢，因此不适合实时预测或参数反转。有吸引力的替代方案是代理模型。这项工作基于深度学习介绍了高效，准确，灵活的代理模型，NN-P2P，它可以对非结构化或不规则网格进行点对点预测。评估新方法并与基于卷积神经网络（CNNS）的现有方法进行比较，其只能在结构化或常规网格上进行图像到图像预测。在NN-P2P中，输入包括空间坐标和边界特征，可以描述液压结构的几何形状，例如桥墩。所有代理模型都在预测培训域中不同类型的码头周围的流程中。然而，当执行空间推断时，只有NN-P2P工作很好。基于CNN的方法的限制源于其光栅图像性质，其无法捕获边界几何形状和流量，这对流体动力学至关重要。 NN-P2P在通过神经网络预测码头周围的流量方面也具有良好的性能。 NN-P2P模型还严格尊重保护法。通过计算拖动系数$ C_D $的拖动系数$ C_D $ C_D $与码头长度/宽度比的新线性关系来证明拟议的代理模型的应用。

Recent years have witnessed a growth in mathematics for deep learning--which seeks a deeper understanding of the concepts of deep learning with mathematics, and explores how to make it more robust--and deep learning for mathematics, where deep learning algorithms are used to solve problems in mathematics. The latter has popularised the field of scientific machine learning where deep learning is applied to problems in scientific computing. Specifically, more and more neural network architectures have been developed to solve specific classes of partial differential equations (PDEs). Such methods exploit properties that are inherent to PDEs and thus solve the PDEs better than classical feed-forward neural networks, recurrent neural networks, and convolutional neural networks. This has had a great impact in the area of mathematical modeling where parametric PDEs are widely used to model most natural and physical processes arising in science and engineering, In this work, we review such methods and extend them for parametric studies as well as for solving the related inverse problems. We equally proceed to show their relevance in some industrial applications.

数值模拟中信息丢失可能来自各种来源，同时求解离散的部分微分方程。特别地，与等效的64位模拟相比，使用低精确的16位浮点算术进行模拟时，与精度相关的错误可能会积累在关注量中。在这里，低精度计算所需的资源要比高精度计算要低得多。最近提出的几种机器学习（ML）技术已成功纠正空间离散化引起的错误。在这项工作中，我们扩展了这些技术，以改善使用低数值精度进行的计算流体动力学（CFD）模拟。我们首先量化了在Kolmogorov强制湍流测试案例中累积的精度相关误差。随后，我们采用了卷积神经网络以及执行16位算术的完全可区分的数值求解器，以学习紧密耦合的ML-CFD混合求解器。与16位求解器相比，我们证明了ML-CFD混合求解器在减少速度场中的误差积累并在较高频率下改善动能光谱的功效。

物理知识的神经网络（PINNS）由于能力将物理定律纳入模型，在工程的各个领域都引起了很多关注。但是，对机械和热场之间涉及耦合的工业应用中PINN的评估仍然是一个活跃的研究主题。在这项工作中，我们提出了PINNS在非牛顿流体热机械问题上的应用，该问题通常在橡胶日历过程中考虑。我们证明了PINN在处理逆问题和不良问题时的有效性，这些问题是不切实际的，可以通过经典的数值离散方法解决。我们研究了传感器放置的影响以及无监督点对PINNS性能的分布，即从某些部分数据中推断出隐藏的物理领域的问题。我们还研究了PINN从传感器捕获的测量值中识别未知物理参数的能力。在整个工作中，还考虑了嘈杂测量的效果。本文的结果表明，在识别问题中，PINN可以仅使用传感器上的测量结果成功估算未知参数。在未完全定义边界条件的不足问题中，即使传感器的放置和无监督点的分布对PINNS性能产生了很大的影响，我们表明该算法能够从局部测量中推断出隐藏的物理。

This work presents a physics-informed deep learning-based super-resolution framework to enhance the spatio-temporal resolution of the solution of time-dependent partial differential equations (PDE). Prior works on deep learning-based super-resolution models have shown promise in accelerating engineering design by reducing the computational expense of traditional numerical schemes. However, these models heavily rely on the availability of high-resolution (HR) labeled data needed during training. In this work, we propose a physics-informed deep learning-based framework to enhance the spatial and temporal resolution of coarse-scale (both in space and time) PDE solutions without requiring any HR data. The framework consists of two trainable modules independently super-resolving the PDE solution, first in spatial and then in temporal direction. The physics based losses are implemented in a novel way to ensure tight coupling between the spatio-temporally refined outputs at different times and improve framework accuracy. We analyze the capability of the developed framework by investigating its performance on an elastodynamics problem. It is observed that the proposed framework can successfully super-resolve (both in space and time) the low-resolution PDE solutions while satisfying physics-based constraints and yielding high accuracy. Furthermore, the analysis and obtained speed-up show that the proposed framework is well-suited for integration with traditional numerical methods to reduce computational complexity during engineering design.

自从Navier Stokes方程的推导以来，已经有可能在数值上解决现实世界的粘性流问题（计算流体动力学（CFD））。然而，尽管中央处理单元（CPU）的性能取得了迅速的进步，但模拟瞬态流量的计算成本非常小，时间/网格量表物理学仍然是不现实的。近年来，机器学习（ML）技术在整个行业中都受到了极大的关注，这一大浪潮已经传播了流体动力学界的各种兴趣。最近的ML CFD研究表明，随着数据驱动方法的训练时间和预测时间之间的间隔增加，完全抑制了误差的增加是不现实的。应用ML的实用CFD加速方法的开发是剩余的问题。因此，这项研究的目标是根据物理信息传递学习制定现实的ML策略，并使用不稳定的CFD数据集验证了该策略的准确性和加速性能。该策略可以在监视跨耦合计算框架中管理方程的残差时确定转移学习的时间。因此，我们的假设是可行的，即连续流体流动时间序列的预测是可行的，因为中间CFD模拟定期不仅减少了增加残差，还可以更新网络参数。值得注意的是，具有基于网格的网络模型的交叉耦合策略不会损害计算加速度的仿真精度。在层流逆流CFD数据集条件下，该模拟加速了1.8次，包括参数更新时间。此可行性研究使用了开源CFD软件OpenFOAM和开源ML软件TensorFlow。

We describe a Physics-Informed Neural Network (PINN) that simulates the flow induced by the astronomical tide in a synthetic port channel, with dimensions based on the Santos - S\~ao Vicente - Bertioga Estuarine System. PINN models aim to combine the knowledge of physical systems and data-driven machine learning models. This is done by training a neural network to minimize the residuals of the governing equations in sample points. In this work, our flow is governed by the Navier-Stokes equations with some approximations. There are two main novelties in this paper. First, we design our model to assume that the flow is periodic in time, which is not feasible in conventional simulation methods. Second, we evaluate the benefit of resampling the function evaluation points during training, which has a near zero computational cost and has been verified to improve the final model, especially for small batch sizes. Finally, we discuss some limitations of the approximations used in the Navier-Stokes equations regarding the modeling of turbulence and how it interacts with PINNs.