我们讨论集群分析的拓扑方面，并表明在聚类之前推断数据集的拓扑结构可以大大增强群集检测：理论论证和经验证据表明，聚类嵌入向量，代表数据歧管的结构，而不是观察到的特征矢量他们自己是非常有益的。为了证明，我们将流形学习方法与基于密度的聚类方法DBSCAN结合了歧管学习方法UMAP。合成和真实数据结果表明，这既简化和改善了多种低维问题，包括密度变化和/或纠缠形状的群集。我们的方法简化了聚类，因为拓扑预处理始终降低DBSCAN的参数灵敏度。然后，用dbscan聚类所得的嵌入可以超过诸如spectacl和clustergan之类的复杂方法。最后，我们的调查表明，聚类中的关键问题似乎不是数据的标称维度或其中包含多少不相关的功能，而是\ textIt {可分离}群集在环境观察空间中的\ textit {可分离}，它们嵌入了它们中。 ，通常是数据特征定义的（高维）欧几里得空间。我们的方法之所以成功，是因为我们将数据投影到更合适的空间后，从某种意义上说，我们执行了群集分析。

异常检测或异常检测是数据分析中的重要任务。我们从几何学角度讨论问题，并提供一个框架来利用数据集的度量结构。我们的方法基于多种假设，即，所观察到的名义上高维数据位于较低的维歧管上，并且可以通过多种学习方法来推断这种内在结构。我们表明，利用这种结构可显着改善高维数据中外围观测值的检测。我们还基于数据流形的几何形状和拓扑结构，在数学上精确，精确且在结构异常值之间进行了新颖的区别，这是一个新颖的，并且阐明了整个文献中普遍存在的概念模棱两可。我们的实验将功能数据集中在一类结构化的高维数据上，但是我们提出的框架是完全一般的，我们包括图像和图形数据应用程序。我们的结果表明，可以使用歧管学习方法检测和可视化高维和非尾数据的离群结构，并使用应用于歧管嵌入向量的标准离群评分方法进行量化。

最近有一项激烈的活动在嵌入非常高维和非线性数据结构的嵌入中，其中大部分在数据科学和机器学习文献中。我们分四部分调查这项活动。在第一部分中，我们涵盖了非线性方法，例如主曲线，多维缩放，局部线性方法，ISOMAP，基于图形的方法和扩散映射，基于内核的方法和随机投影。第二部分与拓扑嵌入方法有关，特别是将拓扑特性映射到持久图和映射器算法中。具有巨大增长的另一种类型的数据集是非常高维网络数据。第三部分中考虑的任务是如何将此类数据嵌入中等维度的向量空间中，以使数据适合传统技术，例如群集和分类技术。可以说，这是算法机器学习方法与统计建模（所谓的随机块建模）之间的对比度。在论文中，我们讨论了两种方法的利弊。调查的最后一部分涉及嵌入$ \ mathbb {r}^ 2 $，即可视化中。提出了三种方法：基于第一部分，第二和第三部分中的方法，$ t $ -sne，UMAP和大节。在两个模拟数据集上进行了说明和比较。一个由嘈杂的ranunculoid曲线组成的三胞胎，另一个由随机块模型和两种类型的节点产生的复杂性的网络组成。

We review clustering as an analysis tool and the underlying concepts from an introductory perspective. What is clustering and how can clusterings be realised programmatically? How can data be represented and prepared for a clustering task? And how can clustering results be validated? Connectivity-based versus prototype-based approaches are reflected in the context of several popular methods: single-linkage, spectral embedding, k-means, and Gaussian mixtures are discussed as well as the density-based protocols (H)DBSCAN, Jarvis-Patrick, CommonNN, and density-peaks.

在机器学习中调用多种假设需要了解歧管的几何形状和维度，理论决定了需要多少样本。但是，在应用程序数据中，采样可能不均匀，歧管属性是未知的，并且（可能）非纯化；这意味着社区必须适应本地结构。我们介绍了一种用于推断相似性内核提供数据的自适应邻域的算法。从本地保守的邻域（Gabriel）图开始，我们根据加权对应物进行迭代率稀疏。在每个步骤中，线性程序在全球范围内产生最小的社区，并且体积统计数据揭示了邻居离群值可能违反了歧管几何形状。我们将自适应邻域应用于非线性维度降低，地球计算和维度估计。与标准算法的比较，例如使用K-Nearest邻居，证明了它们的实用性。

聚类算法的全面基准是困难的两个关键因素：（i）〜这种无监督的学习方法的独特数学定义和（ii）〜某些聚类算法采用的生成模型或群集标准之间的依赖性的依赖性内部集群验证。因此，对严格基准测试的最佳做法没有达成共识，以及是否有可能在给定申请的背景之外。在这里，我们认为合成数据集必须继续在群集算法的评估中发挥重要作用，但这需要构建适当地涵盖影响聚类算法性能的各种属性集的基准。通过我们的框架，我们展示了重要的角色进化算法，以支持灵活的这种基准，允许简单的修改和扩展。我们说明了我们框架的两种可能用途：（i）〜基准数据的演变与一组手派生属性和（ii）〜生成梳理给定对算法之间的性能差异的数据集。我们的作品对设计集群基准的设计具有足够挑战广泛算法的集群基准，并进一步了解特定方法的优势和弱点。

非线性维度降低可以通过\纺织{歧管学习}方法来执行，例如随机邻居嵌入（SNE），局部线性嵌入（LLE）和等距特征映射（ISOMAP）。这些方法旨在产生两个或三个潜在嵌入的嵌入，主要用于可视化可理解的表示数据。此稿件提出了学生的T分布式SNE（T-SNE），LLE和ISOMAP的扩展，以实现多维数量和多视图数据的可视化。多视图数据是指从相同样本生成的多种类型的数据。与通过单独可视化所获得的数据，所提出的多视图方法提供了比较通过可视化所获得的多个数据的更可理解的预测。通常可视化用于识别样本内的底层模式。通过将获得的低维嵌入从多视图歧管中的方法结合到K-Means聚类算法中，示出了准确地识别出样品的簇。通过对实际和合成数据的分析，发现所提出的多SNE方法具有最佳性能。我们进一步说明了多SNE方法对分析多OMICS单细胞数据的适用性，目的是在与健康和疾病相关的生物组织中可视化和识别细胞异质性和细胞类型。

基于拓扑的维度减少方法，如T-SNE和UMAP，已经看到了高维数据的成功和普及。这些方法具有强大的数学基础，基于直觉，即低维度的拓扑应接近高维度。鉴于初始拓扑结构是算法成功的前兆，这自然提出了问题：是什么使得维数减少的“良好”拓扑结构？深入了解这将使我们能够设计更好的算法，该算法考虑到本地和全局结构。在专注于UMAP的本文中，我们研究节点连接（k最近邻居与互相k离邻居）和相对邻域（相邻通孔邻居）的影响对维数减少。我们通过关于4标准图像和文本数据集的广泛消融研究探索这些概念; Mnist，Fmnist，20ng，Ag，减少2和64个尺寸。我们的研究结果表明，连接局部邻域（PATH邻居）的灵活方法更加精致的连接（相互K最近邻居）的概念，可以实现比下游测量的默认UMAP更好的表示聚类性能。

大多数维度降低方法采用频域表示，从基质对角线化获得，并且对于具有较高固有维度的大型数据集可能不会有效。为了应对这一挑战，相关的聚类和投影（CCP）提供了一种新的数据域策略，不需要解决任何矩阵。CCP将高维特征分配到相关的群集中，然后根据样本相关性将每个集群中的特征分为一个一维表示。引入了残留相似性（R-S）分数和索引，Riemannian歧管中的数据形状以及基于代数拓扑的持久性Laplacian进行可视化和分析。建议的方法通过与各种机器学习算法相关的基准数据集验证。

The success of machine learning algorithms generally depends on data representation, and we hypothesize that this is because different representations can entangle and hide more or less the different explanatory factors of variation behind the data. Although specific domain knowledge can be used to help design representations, learning with generic priors can also be used, and the quest for AI is motivating the design of more powerful representation-learning algorithms implementing such priors. This paper reviews recent work in the area of unsupervised feature learning and deep learning, covering advances in probabilistic models, auto-encoders, manifold learning, and deep networks. This motivates longer-term unanswered questions about the appropriate objectives for learning good representations, for computing representations (i.e., inference), and the geometrical connections between representation learning, density estimation and manifold learning.

In recent years, spectral clustering has become one of the most popular modern clustering algorithms. It is simple to implement, can be solved efficiently by standard linear algebra software, and very often outperforms traditional clustering algorithms such as the k-means algorithm. On the first glance spectral clustering appears slightly mysterious, and it is not obvious to see why it works at all and what it really does. The goal of this tutorial is to give some intuition on those questions. We describe different graph Laplacians and their basic properties, present the most common spectral clustering algorithms, and derive those algorithms from scratch by several different approaches. Advantages and disadvantages of the different spectral clustering algorithms are discussed.

邻居Embeddings是一种使用$ k $ nn图来可视化复杂的高维数据集的方法。为了找到低维嵌入，这些算法将相邻对点之间的吸引力与所有点之间的排斥力相结合。这种算法的最受欢迎的例子之一是T-SNE。在这里，我们经验证明使用夸张参数改变T-SNE中的吸引力和排斥力之间的平衡产生了一种嵌入式，其特点是简单的折衷：更强的吸引力可以更好地代表连续的歧管结构，而更强排斥可以更好地代表离散的集群结构，并收益率较高$ K $ NN召回。我们发现Umap Embeddings对应于涉及吸引力的T-SNE;数学分析表明，这是因为UMAP采用的负采样优化策略强烈降低了有效的排斥。同样，Forceatlas2通常用于可视化发育​​单细胞转录组数据，产生与T-SNE相对应的嵌入，吸引力增加更多。在这个频谱的极端Lieglacian eigenmaps。我们的结果表明，许多突出的邻居嵌入算法可以放置在吸引力频谱上，并突出显示它们之间的固有折衷。

Network-based analyses of dynamical systems have become increasingly popular in climate science. Here we address network construction from a statistical perspective and highlight the often ignored fact that the calculated correlation values are only empirical estimates. To measure spurious behaviour as deviation from a ground truth network, we simulate time-dependent isotropic random fields on the sphere and apply common network construction techniques. We find several ways in which the uncertainty stemming from the estimation procedure has major impact on network characteristics. When the data has locally coherent correlation structure, spurious link bundle teleconnections and spurious high-degree clusters have to be expected. Anisotropic estimation variance can also induce severe biases into empirical networks. We validate our findings with ERA5 reanalysis data. Moreover we explain why commonly applied resampling procedures are inappropriate for significance evaluation and propose a statistically more meaningful ensemble construction framework. By communicating which difficulties arise in estimation from scarce data and by presenting which design decisions increase robustness, we hope to contribute to more reliable climate network construction in the future.

降低（DR）在高维数据的视觉分析中起着至关重要的作用。 DR的主要目的是揭示隐藏的模式，这些模式位于固有的低维歧管上。但是，当歧管被某些有影响力的数据属性严重扭曲或隐藏时，DR通常会忽略重要模式。本文介绍了一个功能学习框架FEALM，旨在为非线性DR生成优化的数据投影集，以便在隐藏的歧管中捕获重要模式。这些投影产生了最大不同的最近邻居图，因此由此产生的DR结果显着差异。为了获得这种功能，我们设计了一种优化算法，并引入了一种新的图形差异度量，称为邻居形状差异。此外，我们开发交互式可视化，以帮助比较获得的DR结果和每个DR结果的解释。我们通过使用合成数据集和对现实世界数据集的多个案例研究进行实验来证明FEALM的有效性。

可视化非常大的矩阵涉及许多强大的问题。这些问题的各种流行的解决方案涉及采样，群集，投影或特征选择，以降低原始任务的大小和复杂性。这些方法的一个重要方面是如何在减少行和列以便在较低尺寸空间中保持高维空间中的点之间的相对距离。这方面很重要，因为基于错误的视觉推理的结论可能是有害的。在可视化的基础上判断与相似或类似的点相似或类似的点可以导致错误的结论。为了改善这种偏差并使非常大的数据集的可视化可行，我们介绍了两个新的算法，分别选择矩形矩阵的行和列的子集。这种选择旨在尽可能地保持相对距离。我们将矩阵素描与各种人工和真实数据集的更传统的替代品进行比较。

在解决问题的过程中，通往解决方案的道路可以看作是一系列决策。人类或计算机做出的决定通过问题的高维表示空间来描述轨迹。通过降低维度，可以在较低维空间中可视化这些轨迹。此类嵌入式轨迹先前已应用于各种数据，但是分析几乎完全集中在单轨迹的自相似性上。相比之下，我们描述了在相同的嵌入空间中绘制许多轨迹（对于不同初始条件，终端状态和解决方案策略）而出现的模式。我们认为，可以通过解释这些模式来制定有关解决问题的任务和解决策略的一般性陈述。我们探索并描述了由人类和机器制定的各种应用领域中的决策产生的轨迹中的这种模式：逻辑难题（魔术片），策略游戏（国际象棋）和优化问题（神经网络培训）。 We also discuss the importance of suitably chosen representation spaces and similarity metrics for the embedding.

In this work we study statistical properties of graph-based algorithms for multi-manifold clustering (MMC). In MMC the goal is to retrieve the multi-manifold structure underlying a given Euclidean data set when this one is assumed to be obtained by sampling a distribution on a union of manifolds $\mathcal{M} = \mathcal{M}_1 \cup\dots \cup \mathcal{M}_N$ that may intersect with each other and that may have different dimensions. We investigate sufficient conditions that similarity graphs on data sets must satisfy in order for their corresponding graph Laplacians to capture the right geometric information to solve the MMC problem. Precisely, we provide high probability error bounds for the spectral approximation of a tensorized Laplacian on $\mathcal{M}$ with a suitable graph Laplacian built from the observations; the recovered tensorized Laplacian contains all geometric information of all the individual underlying manifolds. We provide an example of a family of similarity graphs, which we call annular proximity graphs with angle constraints, satisfying these sufficient conditions. We contrast our family of graphs with other constructions in the literature based on the alignment of tangent planes. Extensive numerical experiments expand the insights that our theory provides on the MMC problem.

群集分析需要许多决定：聚类方法和隐含的参考模型，群集数，通常，几个超参数和算法调整。在实践中，一个分区产生多个分区，基于验证或选择标准选择最终的分区。存在丰富的验证方法，即隐式或明确地假设某个聚类概念。此外，它们通常仅限于从特定方法获得的分区上操作。在本文中，我们专注于可以通过二次或线性边界分开的群体。参考集群概念通过二次判别符号函数和描述集群大小，中心和分散的参数定义。我们开发了两个名为二次分数的群集质量标准。我们表明这些标准与从一般类椭圆对称分布产生的组一致。对这种类型的组追求在应用程序中是常见的。研究了与混合模型和模型的聚类的似然理论的连接。基于Bootstrap重新采样的二次分数，我们提出了一个选择规则，允许在许多聚类解决方案中选择。所提出的方法具有独特的优点，即它可以比较不能与其他最先进的方法进行比较的分区。广泛的数值实验和实际数据的分析表明，即使某些竞争方法在某些设置中出现优越，所提出的方法也实现了更好的整体性能。

We present a new technique called "t-SNE" that visualizes high-dimensional data by giving each datapoint a location in a two or three-dimensional map. The technique is a variation of Stochastic Neighbor Embedding (Hinton and Roweis, 2002) that is much easier to optimize, and produces significantly better visualizations by reducing the tendency to crowd points together in the center of the map. t-SNE is better than existing techniques at creating a single map that reveals structure at many different scales. This is particularly important for high-dimensional data that lie on several different, but related, low-dimensional manifolds, such as images of objects from multiple classes seen from multiple viewpoints. For visualizing the structure of very large data sets, we show how t-SNE can use random walks on neighborhood graphs to allow the implicit structure of all of the data to influence the way in which a subset of the data is displayed. We illustrate the performance of t-SNE on a wide variety of data sets and compare it with many other non-parametric visualization techniques, including Sammon mapping, Isomap, and Locally Linear Embedding. The visualizations produced by t-SNE are significantly better than those produced by the other techniques on almost all of the data sets.

即使机器学习算法已经在数据科学中发挥了重要作用，但许多当前方法对输入数据提出了不现实的假设。由于不兼容的数据格式，或数据集中的异质，分层或完全缺少的数据片段，因此很难应用此类方法。作为解决方案，我们提出了一个用于样本表示，模型定义和培训的多功能，统一的框架，称为“ Hmill”。我们深入审查框架构建和扩展的机器学习的多个范围范式。从理论上讲，为HMILL的关键组件的设计合理，我们将通用近似定理的扩展显示到框架中实现的模型所实现的所有功能的集合。本文还包含有关我们实施中技术和绩效改进的详细讨论，该讨论将在MIT许可下发布供下载。该框架的主要资产是其灵活性，它可以通过相同的工具对不同的现实世界数据源进行建模。除了单独观察到每个对象的一组属性的标准设置外，我们解释了如何在框架中实现表示整个对象系统的图表中的消息推断。为了支持我们的主张，我们使用框架解决了网络安全域的三个不同问题。第一种用例涉及来自原始网络观察结果的IoT设备识别。在第二个问题中，我们研究了如何使用以有向图表示的操作系统的快照可以对恶意二进制文件进行分类。最后提供的示例是通过网络中实体之间建模域黑名单扩展的任务。在所有三个问题中，基于建议的框架的解决方案可实现与专业方法相当的性能。