物理学，生物学或医学中的经验观察时间序列通常由一些潜在的动态系统（DS）产生，这是科学兴趣的目标。收获机器学习方法越来越兴趣，以完全数据驱动，无人监督的方式重建这种潜在的DS。在许多科学领域，通常可以同时采样时间序列观察，例如，从许多数据模式中进行采样时间序列观察。典型神经科学实验中的电生理和行为时间序列。然而，用于重建DSS的当前机器学习工具通常只关注一个数据模型。在这里，我们提出了一种用于非线性DS识别和跨模态预测的多模态数据集成的一般框架。该框架基于动态可解释的复发性神经网络作为非线性DS的一般近似器，耦合到来自广义线性模型类的模态特定解码器模型集。预期最大化和模型培训的变分推理算法都是先进的和比较。我们在非线性DS基准上展示了我们的算法通过利用其他频道，我们的算法可以有效地补偿一个数据信道中的太吵或丢失的信息，并在实验神经科学数据上演示算法如何将不同的数据域链接到底层动态

Many, if not most, systems of interest in science are naturally described as nonlinear dynamical systems (DS). Empirically, we commonly access these systems through time series measurements, where often we have time series from different types of data modalities simultaneously. For instance, we may have event counts in addition to some continuous signal. While by now there are many powerful machine learning (ML) tools for integrating different data modalities into predictive models, this has rarely been approached so far from the perspective of uncovering the underlying, data-generating DS (aka DS reconstruction). Recently, sparse teacher forcing (TF) has been suggested as an efficient control-theoretic method for dealing with exploding loss gradients when training ML models on chaotic DS. Here we incorporate this idea into a novel recurrent neural network (RNN) training framework for DS reconstruction based on multimodal variational autoencoders (MVAE). The forcing signal for the RNN is generated by the MVAE which integrates different types of simultaneously given time series data into a joint latent code optimal for DS reconstruction. We show that this training method achieves significantly better reconstructions on multimodal datasets generated from chaotic DS benchmarks than various alternative methods.

在许多科学学科中，我们有兴趣推断一组观察到的时间序列的非线性动力学系统，这是面对混乱的行为和噪音，这是一项艰巨的任务。以前的深度学习方法实现了这一目标，通常缺乏解释性和障碍。尤其是，即使基本动力学生存在较低维的多种多样的情况下，忠实嵌入通常需要的高维潜在空间也会阻碍理论分析。在树突计算的新兴原则的推动下，我们通过线性样条基础扩展增强了动态解释和数学可牵引的分段线性（PL）复发性神经网络（RNN）。我们表明，这种方法保留了简单PLRNN的所有理论上吸引人的特性，但在相对较低的尺寸中提高了其近似任意非线性动态系统的能力。我们采用两个框架来训练该系统，一个将反向传播的时间（BPTT）与教师强迫结合在一起，另一个将基于快速可扩展的变异推理的基础。我们表明，树枝状扩展的PLRNN可以在各种动力学系统基准上获得更少的参数和尺寸，并与其他方法进行比较，同时保留了可拖动和可解释的结构。

在许多学科中，动态系统的数据信息预测模型的开发引起了广泛的兴趣。我们提出了一个统一的框架，用于混合机械和机器学习方法，以从嘈杂和部分观察到的数据中识别动态系统。我们将纯数据驱动的学习与混合模型进行比较，这些学习结合了不完善的域知识。我们的公式与所选的机器学习模型不可知，在连续和离散的时间设置中都呈现，并且与表现出很大的内存和错误的模型误差兼容。首先，我们从学习理论的角度研究无内存线性（W.R.T.参数依赖性）模型误差，从而定义了过多的风险和概括误差。对于沿阵行的连续时间系统，我们证明，多余的风险和泛化误差都通过与T的正方形介于T的术语（指定训练数据的时间间隔）的术语界定。其次，我们研究了通过记忆建模而受益的方案，证明了两类连续时间复发性神经网络（RNN）的通用近似定理：两者都可以学习与内存有关的模型误差。此外，我们将一类RNN连接到储层计算，从而将学习依赖性错误的学习与使用随机特征在Banach空间之间进行监督学习的最新工作联系起来。给出了数值结果（Lorenz '63，Lorenz '96多尺度系统），以比较纯粹的数据驱动和混合方法，发现混合方法较少，渴望数据较少，并且更有效。最后，我们从数值上证明了如何利用数据同化来从嘈杂，部分观察到的数据中学习隐藏的动态，并说明了通过这种方法和培训此类模型来表示记忆的挑战。

预测性编码提供了对皮质功能的潜在统一说明 - 假设大脑的核心功能是最小化有关世界生成模型的预测错误。该理论与贝叶斯大脑框架密切相关，在过去的二十年中，在理论和认知神经科学领域都产生了重大影响。基于经验测试的预测编码的改进和扩展的理论和数学模型，以及评估其在大脑中实施的潜在生物学合理性以及该理论所做的具体神经生理学和心理学预测。尽管存在这种持久的知名度，但仍未对预测编码理论，尤其是该领域的最新发展进行全面回顾。在这里，我们提供了核心数学结构和预测编码的逻辑的全面综述，从而补充了文献中最新的教程。我们还回顾了该框架中的各种经典和最新工作，从可以实施预测性编码的神经生物学现实的微电路到预测性编码和广泛使用的错误算法的重新传播之间的紧密关系，以及对近距离的调查。预测性编码和现代机器学习技术之间的关系。

这项正在进行的工作旨在为统计学习提供统一的介绍，从诸如GMM和HMM等经典模型到现代神经网络（如VAE和扩散模型）缓慢地构建。如今，有许多互联网资源可以孤立地解释这一点或新的机器学习算法，但是它们并没有（也不能在如此简短的空间中）将这些算法彼此连接起来，或者与统计模型的经典文献相连现代算法出现了。同样明显缺乏的是一个单一的符号系统，尽管对那些已经熟悉材料的人（如这些帖子的作者）不满意，但对新手的入境造成了重大障碍。同样，我的目的是将各种模型（尽可能）吸收到一个用于推理和学习的框架上，表明（以及为什么）如何以最小的变化将一个模型更改为另一个模型（其中一些是新颖的，另一些是文献中的）。某些背景当然是必要的。我以为读者熟悉基本的多变量计算，概率和统计以及线性代数。这本书的目标当然不是​​完整性，而是从基本知识到过去十年中极强大的新模型的直线路径或多或少。然后，目标是补充而不是替换，诸如Bishop的\ emph {模式识别和机器学习}之类的综合文本，该文本现在已经15岁了。

基于近似基础的Koopman操作员或发电机的数据驱动的非线性动力系统模型已被证明是预测，功能学习，状态估计和控制的成功工具。众所周知，用于控制膜系统的Koopman发电机还对输入具有仿射依赖性，从而导致动力学的方便有限维双线性近似。然而，仍然存在两个主要障碍，限制了当前方法的范围，以逼近系统的koopman发电机。首先，现有方法的性能在很大程度上取决于要近似Koopman Generator的基础函数的选择；目前，目前尚无通用方法来为无法衡量保存的系统选择它们。其次，如果我们不观察到完整的状态，我们可能无法访问足够丰富的此类功能来描述动态。这是因为在有驱动时，通常使用时间延迟的可观察物的方法失败。为了解决这些问题，我们将Koopman Generator控制的可观察到的动力学写为双线性隐藏Markov模型，并使用预期最大化（EM）算法确定模型参数。 E-Step涉及标准的Kalman滤波器和更光滑，而M-Step类似于发电机的控制效果模式分解。我们在三个示例上证明了该方法的性能，包括恢复有限的Koopman-Invariant子空间，用于具有缓慢歧管的驱动系统；估计非强制性行驶方程的Koopman本征函数；仅基于提升和阻力的嘈杂观察，对流体弹球系统的模型预测控制。

非线性状态空间模型是一种强大的工具，可以在复杂时间序列中描述动态结构。在一个流的媒体设置中，当一次处理一个样本的情况下，状态的同时推断及其非线性动力学在实践中提出了重大挑战。我们开发了一个小说在线学习框架，利用变分推理和顺序蒙特卡罗，这使得灵活和准确的贝叶斯联合过滤。我们的方法提供了滤波后的近似，这可以任意地接近针对广泛的动态模型和观察模型的真正滤波分布。具体地，所提出的框架可以使用稀疏高斯过程有效地近似于动态的后验，允许潜在动力学的可解释模型。每个样本的恒定时间复杂性使我们的方法能够适用于在线学习场景，适用于实时应用。

计算生物学中的一个关键问题是发现基因表达变化，该基因表达会调节细胞命运跃迁，其中一种细胞类型变成另一种细胞类型。但是，每个单独的单个细胞都不能纵向跟踪，并且在同一时间内实时的单元可能处于过渡过程的不同阶段。这可以看作是从未知时代的观察结果中学习动态系统行为的问题。此外，单个祖细胞类型通常会分叉成多种儿童细胞类型，从而使模拟动力学的问题变得复杂。为了解决这个问题，我们开发了一种称为普通微分方程的变分混合物的方法。通过使用基因表达生物化学告知的简单odes家族来限制深层生成模型的可能性，我们可以同时推断每个细胞的潜在时间和潜在状态并预测其未来的基因表达状态。该模型可以解释为ODE的混合物，其参数在细胞状态的潜在空间中连续变化。与以前的方法相比，我们的方法极大地改善了单细胞基因表达数据的数据拟合，潜在时间推断和未来的细胞状态估计。

复发性神经网络（RNN）是用于建模顺序和时间序列数据的广泛机器学习工具。众所周知，他们很难训练，因为他们的损失梯度在训练过程中倾向于饱和或差异。这被称为爆炸和消失的梯度问题。对该问题的先前解决方案要么建立在具有门控内存缓冲区的相当复杂的，专门设计的体系结构上，要么 - 最近 - 施加的约束，以确保收敛到固定点或限制（限制复发矩阵）。然而，这种限制传达了对RNN表现性的严重局限性。绝对的内在动态（例如多稳定性或混乱）被禁用。这本质上是在大自然和社会中遇到的许多（如果不是大多数时间）的混乱性质的脱节性。在科学应用中，尤其是一个旨在重建基本动力学系统的科学应用程序。在这里，我们通过将RNN培训期间的损耗梯度与RNN生成的轨道的lyapunov谱相关联，对该问题提供了全面的理论处理。我们从数学上证明，产生稳定平衡或环状行为的RNN具有有限的梯度，而混沌动力学的RNN梯度总是不同。基于这些分析和见解，我们建议如何根据系统的Lyapunov Spectrum，如何优化混乱数据的训练过程，无论使用的RNN架构如何。

我们制定自然梯度变推理（VI），期望传播（EP），和后线性化（PL）作为牛顿法用于优化贝叶斯后验分布的参数扩展。这种观点明确地把数值优化框架下的推理算法。我们表明，通用近似牛顿法从优化文献，即高斯 - 牛顿和准牛顿方法（例如，该BFGS算法），仍然是这种“贝叶斯牛顿”框架下有效。这导致了一套这些都保证以产生半正定协方差矩阵，不像标准VI和EP新颖算法。我们统一的观点提供了新的见解各种推理方案之间的连接。所有提出的方法适用于具有高斯事先和非共轭的可能性，这是我们与（疏）高斯过程和状态空间模型展示任何模型。

通用非线性系统的最优控制是自动化中的中央挑战。通过强大的函数近似器启用的数据驱动的控制方法，最近在处理具有挑战性的机器人应用方面取得了巨大成功。但是，这些方法通常会掩盖黑盒上过度参数化表示的动态和控制的结构，从而限制了我们理解闭环行为的能力。本文采用混合系统的非线性建模和控制的视图，对问题提供显式层次结构，并将复杂的动态分解为更简单的本地化单元。因此，我们考虑一个序列建模范式，它捕获数据的时间结构，并导出了一种具有非线性边界的随机分段仿射动态系统将非线性动力学自动分解的序列 - 最大化（EM）算法。此外，我们表明，这些时间序列模型自然地承认我们使用的闭环扩展，以通过模仿学习从非线性专家提取本地线性或多项式反馈控制器。最后，我们介绍了一种新的混合地位熵策略搜索（HB-reps）技术，其结合了混合系统的分层性质，并优化了从全局价值函数的局部多项式近似导出的一组时间不变的局部反馈控制器。

纵向生物医学数据通常是稀疏时间网格和个体特定发展模式的特征。具体而言，在流行病学队列研究和临床登记处，我们面临的问题是在研究早期阶段中可以从数据中学到的问题，只有基线表征和一个后续测量。灵感来自最近的进步，允许将深度学习与动态建模相结合，我们调查这些方法是否可用于揭示复杂结构，特别是对于每个单独的两个观察时间点的极端小数据设置。然后，通过利用个体的相似性，可以使用不规则间距来获得有关个体动态的更多信息。我们简要概述了变形的自动化器（VAES）如何作为深度学习方法，可以与普通微分方程（ODES）相关联用于动态建模，然后具体研究这种方法的可行性，即提供个人特定的潜在轨迹的方法通过包括规律性假设和个人的相似性。我们还提供了对这种深度学习方法的描述作为过滤任务，以提供统计的视角。使用模拟数据，我们展示了方法可以在多大程度上从多大程度上恢复具有两个和四个未知参数的颂歌系统的单个轨迹，以及使用具有类似轨迹的个体群体，以及其崩溃的地方。结果表明，即使在极端的小数据设置中，这种动态深度学习方法也可能是有用的，但需要仔细调整。

最近的机器学习进展已直接从数据中直接提出了对未知连续时间系统动力学的黑盒估计。但是，较早的作品基于近似ODE解决方案或点估计。我们提出了一种新型的贝叶斯非参数模型，该模型使用高斯工艺直接从数据中直接从数据中推断出未知ODE系统的后代。我们通过脱钩的功能采样得出稀疏的变异推断，以表示矢量场后代。我们还引入了一种概率的射击增强，以从任意长的轨迹中有效推断。该方法证明了计算矢量场后代的好处，预测不确定性得分优于多个ODE学习任务的替代方法。

概率生成模型对科学建模具有吸引力，因为它们的推论参数可用于生成假设和设计实验。这要求学习的模型提供了对输入数据的准确表示，并产生一个潜在空间，该空间有效地预测了与科学问题相关的结果。监督的变异自动编码器（SVAE）以前已用于此目的，在此目的中，精心设计的解码器可以用作可解释的生成模型，而监督目标可确保预测性潜在表示。不幸的是，监督的目标迫使编码器学习与生成后验分布有偏见的近似，这在科学模型中使用时使生成参数不可靠。由于通常用于评估模型性能的重建损失，因此该问题仍未被发现。我们通过开发一个二阶监督框架（SOS-VAE）来解决这个以前未报告的问题，该框架影响解码器诱导预测潜在的代表。这样可以确保关联的编码器保持可靠的生成解释。我们扩展了此技术，以使用户能够在生成参数中折叠以提高预测性能，并充当SVAE和我们的新SOS-VAE之间的中间选择。我们还使用这种方法来解决在组合来自多个科学实验的录音时经常出现的缺失数据问题。我们使用合成数据和电生理记录来证明这些发展的有效性，重点是如何使用我们学到的表示形式来设计科学实验。

使用黑框模型（例如神经普通微分方程（ODE））对动态系统的端到端学习为从数据中学习动力学的灵活框架提供了一个灵活的框架，而无需为动力学开出数学模型。不幸的是，这种灵活性是基于理解动态系统的成本，而该系统无处不在。此外，在各种条件（输入）（例如处理）或以某种方式分组（例如子人群的一部分）中收集了实验数据。了解这些系统输入对系统输出的影响对于具有动态系统的任何有意义的模型至关重要。为此，我们提出了一个结构化的潜在ode模型，该模型明确捕获了其潜在表示内的系统输入变化。在静态潜在变量规范的基础上，我们的模型学习了（独立的）随机因素，每个输入的系统输入的变异因素，从而将系统输入在潜在空间中的效果分开。该方法通过受控生成的时间序列数据提供了可行的建模，以实现新颖的输入组合（或扰动）。此外，我们提出了一种量化不确定性的灵活方法，利用分位数回归公式。在受到挑战的生物数据集上，在观测数据的受控生成和生物学上有意义的系统输入的推理中，对竞争基准的结果保持一致。

这是一门专门针对STEM学生开发的介绍性机器学习课程。我们的目标是为有兴趣的读者提供基础知识，以在自己的项目中使用机器学习，并将自己熟悉术语作为进一步阅读相关文献的基础。在这些讲义中，我们讨论受监督，无监督和强化学习。注释从没有神经网络的机器学习方法的说明开始，例如原理分析，T-SNE，聚类以及线性回归和线性分类器。我们继续介绍基本和先进的神经网络结构，例如密集的进料和常规神经网络，经常性的神经网络，受限的玻尔兹曼机器，（变性）自动编码器，生成的对抗性网络。讨论了潜在空间表示的解释性问题，并使用梦和对抗性攻击的例子。最后一部分致力于加强学习，我们在其中介绍了价值功能和政策学习的基本概念。

有效推论是一种数学框架，它起源于计算神经科学，作为大脑如何实现动作，感知和学习的理论。最近，已被证明是在不确定性下存在国家估算和控制问题的有希望的方法，以及一般的机器人和人工代理人的目标驱动行为的基础。在这里，我们审查了最先进的理论和对国家估计，控制，规划和学习的积极推断的实现;描述当前的成就，特别关注机器人。我们展示了相关实验，以适应，泛化和稳健性而言说明其潜力。此外，我们将这种方法与其他框架联系起来，并讨论其预期的利益和挑战：使用变分贝叶斯推理具有功能生物合理性的统一框架。

这本数字本书包含在物理模拟的背景下与深度学习相关的一切实际和全面的一切。尽可能多，所有主题都带有Jupyter笔记本的形式的动手代码示例，以便快速入门。除了标准的受监督学习的数据中，我们将看看物理丢失约束，更紧密耦合的学习算法，具有可微分的模拟，以及加强学习和不确定性建模。我们生活在令人兴奋的时期：这些方法具有从根本上改变计算机模拟可以实现的巨大潜力。

The success of machine learning algorithms generally depends on data representation, and we hypothesize that this is because different representations can entangle and hide more or less the different explanatory factors of variation behind the data. Although specific domain knowledge can be used to help design representations, learning with generic priors can also be used, and the quest for AI is motivating the design of more powerful representation-learning algorithms implementing such priors. This paper reviews recent work in the area of unsupervised feature learning and deep learning, covering advances in probabilistic models, auto-encoders, manifold learning, and deep networks. This motivates longer-term unanswered questions about the appropriate objectives for learning good representations, for computing representations (i.e., inference), and the geometrical connections between representation learning, density estimation and manifold learning.