持续的同源性（PH）是拓扑数据分析中最流行的方法之一。尽管PH已用于许多不同类型的应用程序中，但其成功背后的原因仍然难以捉摸。特别是，尚不知道哪种类别的问题最有效，或者在多大程度上可以检测几何或拓扑特征。这项工作的目的是确定pH在数据分析中比其他方法更好甚至更好的问题。我们考虑三个基本形状分析任务：从形状采样的2D和3D点云中检测孔数，曲率和凸度。实验表明，pH在这些任务中取得了成功，超过了几个基线，包括PointNet，这是一个精确地受到点云的属性启发的体系结构。此外，我们观察到，pH对于有限的计算资源和有限的培训数据以及分布外测试数据，包括各种数据转换和噪声，仍然有效。
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无监督的特征学习通常会发现捕获复杂数据结构的低维嵌入。对于专家的任务可获得专家，将其纳入学习的代表可能会导致更高质量的嵌入品。例如，这可以帮助人们将数据嵌入给定的簇数，或者容纳阻止一个人直接在模型上衍生数据分布的噪声，然后可以更有效地学习。然而，缺乏将不同的先前拓扑知识集成到嵌入中的一般工具。虽然最近已经开发了可微分的拓扑层，但可以（重新）形状嵌入预定的拓扑模型，他们对代表学习有两个重要的局限性，我们在本文中解决了这一点。首先，目前建议的拓扑损失未能以自然的方式代表诸如群集和耀斑的简单模型。其次，这些损失忽略了对学习有用的数据中的所有原始结构（例如邻域）信息。我们通过引入一组新的拓扑损失来克服这些限制，并提出其用法作为拓扑正规规范数据嵌入来自然代表预定模型的一种方法。我们包括彻底的综合和实际数据实验，突出了这种方法的有用性和多功能性，其中应用范围从建模高维单胞胎数据进行建模到绘图嵌入。
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拓扑数据分析（TDA）是来自数据科学和数学的工具，它开始在环境科学领域引起波浪。在这项工作中，我们寻求对TDA工具的直观且可理解的介绍，该工具对于分析图像（即持续存在同源性）特别有用。我们简要讨论理论背景，但主要关注理解该工具的输出并讨论它可以收集的信息。为此，我们围绕着一个指导示例进行讨论，该指导示例是对RASP等人研究的糖，鱼类，花朵和砾石数据集进行分类。 al。 2020年（Arxiv：1906：01906）。我们证明了如何使用简单的机器学习算法来获得良好的结果，并详细探讨了如何用图像级特征来解释这种行为。持续同源性的核心优势之一是它的解释性是可解释的，因此在本文中，我们不仅讨论了我们发现的模式，而且要考虑到为什么我们对持续性同源性理论的了解，因此可以期待这些结果。我们的目标是，本文的读者将更好地了解TDA和持续的同源性，能够确定自己的问题和数据集，为此，持续的同源性可能会有所帮助，并从应用程序中获得对结果的理解包括GitHub示例代码。
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适当地表示数据库中的元素，以便可以准确匹配查询是信息检索的核心任务；最近，通过使用各种指标将数据库的图形结构嵌入层次结构的方式中来实现。持久性同源性是一种在拓扑数据分析中常用的工具，能够严格地以其层次结构和连接结构来表征数据库。计算各种嵌入式数据集上的持续同源性表明，一些常用的嵌入式无法保留连接性。我们表明，那些成功保留数据库拓扑的嵌入通过引入两种扩张不变的比较措施来捕获这种效果，尤其是解决了对流形的度量扭曲问题。我们为它们的计算提供了一种算法，该算法大大降低了现有方法的时间复杂性。我们使用这些措施来执行基于拓扑的信息检索的第一个实例，并证明了其在持久同源性的标准瓶颈距离上的性能提高。我们在不同数据品种的数据库中展示了我们的方法，包括文本，视频和医学图像。
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我们考虑了$ d $维图像的新拓扑效率化，该图像通过在计算持久性之前与各种过滤器进行卷积。将卷积滤波器视为图像中的图案，结果卷积的持久图描述了图案在整个图像中分布的方式。我们称之为卷积持久性的管道扩展了拓扑结合图像数据中模式的能力。的确，我们证明（通常说）对于任何两个图像，人们都可以找到某些过滤器，它们会为其产生不同的持久图，以便给定图像的所有可能的卷积持久性图的收集是一个不变的不变性。通过表现出卷积的持久性是另一种拓扑不变的持续性副学变换的特殊情况，这证明了这一点。卷积持久性的其他优势是提高噪声的稳定性和鲁棒性，对数据依赖性矢量化的更大灵活性以及对具有较大步幅向量的卷积的计算复杂性降低。此外，我们还有一套实验表明，即使人们使用随机过滤器并通过仅记录其总持久性，卷积大大提高了持久性的预测能力，即使一个人使用随机过滤器并将结果图进行量化。
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最近有一项激烈的活动在嵌入非常高维和非线性数据结构的嵌入中，其中大部分在数据科学和机器学习文献中。我们分四部分调查这项活动。在第一部分中，我们涵盖了非线性方法，例如主曲线，多维缩放，局部线性方法，ISOMAP，基于图形的方法和扩散映射，基于内核的方法和随机投影。第二部分与拓扑嵌入方法有关，特别是将拓扑特性映射到持久图和映射器算法中。具有巨大增长的另一种类型的数据集是非常高维网络数据。第三部分中考虑的任务是如何将此类数据嵌入中等维度的向量空间中，以使数据适合传统技术，例如群集和分类技术。可以说，这是算法机器学习方法与统计建模（所谓的随机块建模）之间的对比度。在论文中，我们讨论了两种方法的利弊。调查的最后一部分涉及嵌入$ \ mathbb {r}^ 2 $，即可视化中。提出了三种方法：基于第一部分，第二和第三部分中的方法，$ t $ -sne，UMAP和大节。在两个模拟数据集上进行了说明和比较。一个由嘈杂的ranunculoid曲线组成的三胞胎，另一个由随机块模型和两种类型的节点产生的复杂性的网络组成。
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拓扑数据分析（TDA）的主要挑战之一是从机器学习算法直接可用的持久图中提取功能。实际上，持久性图是R2中的本质上（多级）点，并且不能以直接的方式视为向量。在本文中，我们介绍了持平性器，这是一个接受持久图作为输入的第一变压器神经网络架构。坚持不懈的体系结构显着优于古典合成基准数据集上以前的拓扑神经网络架构。此外，它满足了通用近似定理。这使我们能够介绍一种用于拓扑机学习的第一解释方法，我们在两个示例中探讨。
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2021-11-25
不服从统计学习理论的古典智慧，即使它们通常包含数百万参数，现代深度神经网络也概括了井。最近，已经表明迭代优化算法的轨迹可以具有分形结构，并且它们的泛化误差可以与这种分形的复杂性正式连接。这种复杂性由分形的内在尺寸测量，通常比网络中的参数数量小得多。尽管这种透视提供了对为什么跨分层化的网络不会过度装备的解释，但计算内在尺寸（例如，在训练期间进行监测泛化）是一种臭名昭着的困难任务，即使在中等环境维度中，现有方法也通常失败。在这项研究中，我们考虑了从拓扑数据分析（TDA）的镜头上的这个问题，并开发了一个基于严格的数学基础的通用计算工具。通过在学习理论和TDA之间进行新的联系，我们首先说明了泛化误差可以在称为“持久同源维度”（PHD）的概念中，与先前工作相比，我们的方法不需要关于培训动态的任何额外几何或统计假设。然后，通过利用最近建立的理论结果和TDA工具，我们开发了一种高效的算法来估计现代深度神经网络的规模中的博士，并进一步提供可视化工具，以帮助理解深度学习中的概括。我们的实验表明，所提出的方法可以有效地计算网络的内在尺寸，这些设置在各种设置中，这是预测泛化误差的。
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我们研究了紧凑型歧管M上的回归问题。为了利用数据的基本几何形状和拓扑结构，回归任务是基于歧管的前几个特征函数执行的，该特征是歧管的laplace-beltrami操作员，通过拓扑处罚进行正规化。提出的惩罚基于本征函数或估计功能的子级集的拓扑。显示总体方法可在合成和真实数据集上对各种应用产生有希望的和竞争性能。我们还根据回归函数估计，其预测误差及其平滑度（从拓扑意义上）提供理论保证。综上所述，这些结果支持我们方法在目标函数“拓扑平滑”的情况下的相关性。
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拓扑方法可以提供一种提出新的指标和审查数据的方法的方法，否则可能会忽略这一点。在这项工作中，将引入一种量化数据形状的方法，通过称为拓扑数据分析的主题。拓扑数据分析（TDA）中的主要工具是持续的同源性。持续的同源性是一种在长度范围内量化数据形状的方法。在这项工作中简要讨论了所需的背景和计算持续同源性的方法。然后，来自拓扑数据分析的思想被用于非线性动力学，以通过计算其嵌入维度，然后评估其一般拓扑来分析一些常见的吸引子。还将提出一种方法，该方法使用拓扑数据分析来确定时间延迟嵌入的最佳延迟。 TDA还将应用于结构健康监测中的Z24桥案例研究，在该Z24桥梁案例研究中，它将用于仔细检查不同的数据分区，并根据收集数据的条件进行分类。来自拓扑数据分析的度量标准用于比较分区之间的数据。提出的结果表明，损害的存在比温度所产生的影响更大。
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培训和测试监督对象检测模型需要大量带有地面真相标签的图像。标签定义图像中的对象类及其位置，形状以及可能的其他信息，例如姿势。即使存在人力，标签过程也非常耗时。我们引入了一个新的标签工具，用于2D图像以及3D三角网格：3D标记工具（3DLT）。这是一个独立的，功能丰富和跨平台软件，不需要安装，并且可以在Windows，MacOS和基于Linux的发行版上运行。我们不再像当前工具那样在每个图像上分别标记相同的对象，而是使用深度信息从上述图像重建三角形网格，并仅在上述网格上标记一次对象。我们使用注册来简化3D标记，离群值检测来改进2D边界框的计算和表面重建，以将标记可能性扩展到大点云。我们的工具经过最先进的方法测试，并且在保持准确性和易用性的同时，它极大地超过了它们。
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本文旨在通过一种称为拓扑数据分析的方法来讨论一种量化数据“形状”的方法。拓扑数据分析中的主要工具是持续的同源性。这是从简单复合物的同源物中测量数据形状的一种手段，该方法在一系列值范围内计算出来。此处介绍了所需的背景理论和计算持续同源性的方法，并具有针对结构健康监测的应用。这些结果允许拓扑推断和推断高维数据中的功能的能力，否则可能会被忽略。为给定距离参数的数据构建了一个简单复合物。该复合物编码有关数据点局部接近性的信息。可以从这个简单复合物中计算出奇异的同源性值。扩展此想法，为一系列值提供了距离参数，并且在此范围内计算同源性。持续的同源性是在此间隔中如何持续存在数据的同源特征的一种表示。结果是数据的特征。还讨论了一种允许比较不同数据集的持续同源性的方法。
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在机器学习中调用多种假设需要了解歧管的几何形状和维度，理论决定了需要多少样本。但是，在应用程序数据中，采样可能不均匀，歧管属性是未知的，并且（可能）非纯化；这意味着社区必须适应本地结构。我们介绍了一种用于推断相似性内核提供数据的自适应邻域的算法。从本地保守的邻域（Gabriel）图开始，我们根据加权对应物进行迭代率稀疏。在每个步骤中，线性程序在全球范围内产生最小的社区，并且体积统计数据揭示了邻居离群值可能违反了歧管几何形状。我们将自适应邻域应用于非线性维度降低，地球计算和维度估计。与标准算法的比较，例如使用K-Nearest邻居，证明了它们的实用性。
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Tools of Topological Data Analysis provide stable summaries encapsulating the shape of the considered data. Persistent homology, the most standard and well studied data summary, suffers a number of limitations; its computations are hard to distribute, it is hard to generalize to multifiltrations and is computationally prohibitive for big data-sets. In this paper we study the concept of Euler Characteristics Curves, for one parameter filtrations and Euler Characteristic Profiles, for multi-parameter filtrations. While being a weaker invariant in one dimension, we show that Euler Characteristic based approaches do not possess some handicaps of persistent homology; we show efficient algorithms to compute them in a distributed way, their generalization to multifiltrations and practical applicability for big data problems. In addition we show that the Euler Curves and Profiles enjoys certain type of stability which makes them robust tool in data analysis. Lastly, to show their practical applicability, multiple use-cases are considered.
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本文介绍了一组数字方法，用于在不变（弹性）二阶Sobolev指标的设置中对3D表面进行Riemannian形状分析。更具体地说，我们解决了代表为3D网格的参数化或未参数浸入式表面之间的测量学和地球距离的计算。在此基础上，我们为表面集的统计形状分析开发了工具，包括用于估算Karcher均值并在形状群体上执行切线PCA的方法，以及计算沿表面路径的平行传输。我们提出的方法从根本上依赖于通过使用Varifold Fidelity术语来为地球匹配问题提供轻松的变异配方，这使我们能够在计算未参数化表面之间的地理位置时强制执行重新训练的独立性，同时还可以使我们能够与多用途算法相比，使我们能够将表面与vare表面进行比较。采样或网状结构。重要的是，我们演示了如何扩展放松的变分框架以解决部分观察到的数据。在合成和真实的各种示例中，说明了我们的数值管道的不同好处。
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量子计算为某些问题提供了指数加速的潜力。但是，许多具有可证明加速的现有算法都需要当前不可用的耐故障量子计算机。我们提出了NISQ-TDA，这是第一个完全实现的量子机学习算法，其在任意经典（非手动）数据上具有可证明的指数加速，并且仅需要线性电路深度。我们报告了我们的NISQ-TDA算法的成功执行，该算法应用于在量子计算设备以及嘈杂的量子模拟器上运行的小数据集。我们从经验上证实，该算法对噪声是可靠的，并提供了目标深度和噪声水平，以实现现实世界中问题的近期，无耐受耐受性的量子优势。我们独特的数据加载投影方法是噪声鲁棒性的主要来源，引入了一种新的自我校正数据加载方法。
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We propose a new framework for the sampling, compression, and analysis of distributions of point sets and other geometric objects embedded in Euclidean spaces. Nearest neighbors of points on a set of randomly selected rays are recorded into a tensor, called the RaySense signature. From the signature, statistical information about the data set, as well as certain geometrical information, can be extracted, independent of the ray set. We present a few examples illustrating applications of the proposed sampling strategy.
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数据表示的比较是一个复杂的多个方面问题，尚未享受完整的解决方案。我们提出了一种用于比较两个数据表示的方法。我们介绍了表示拓扑分歧（RTD），测量在两点云之间的多尺度拓扑中的异常相同，在点之间的一对一的对应关系。数据点云被允许位于不同的环境空间中。RTD是少数基于TDA的实用方法之一，适用于真实机器学习数据集。实验表明，提议的RTD同意对数据表示相似性的直观评估，对其拓扑结构敏感。我们申请RTD在各种问题的计算机视觉和NLP域中获得神经网络表示的见解：培训动力学分析，数据分配转移，转移学习，集合学习，解剖学评估。
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具有非平凡大规模拓扑的数据集可能很难嵌入具有现有维度降低算法的低维欧几里得空间中。我们建议使用向量束对拓扑复杂的数据集建模，以使基本空间解释大型拓扑，而纤维则解释了局部几何形状。这使人们可以在保留大规模拓扑的同时降低纤维的尺寸。我们将此观点形式化，并且作为一个应用程序，我们描述了一种算法，该算法将数据集和在欧几里得空间中的初始表示形式一起作为输入，假定其大规模拓扑的一部分，并输出了一种新的表示，并输出一种新的表示形式，该表示是集成了沿着初始全局表示，通过局部线性维度降低获得的局部表示。我们在来自动态系统和化学的示例上证明了这种算法。在这些示例中，与各种基于众所周知的基于度量的降低算法相比，我们的算法能够在较低的目标维度中学习拓扑忠实的数据嵌入。
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本文介绍了用于持久图计算的有效算法，给定一个输入分段线性标量字段f在D上定义的d二维简单复杂k，并带有$ d \ leq 3 $。我们的方法通过引入三个主要加速度来扩展开创性的“ Paircells”算法。首先，我们在离散摩尔斯理论的设置中表达了该算法，该算法大大减少了要考虑的输入简单数量。其次，我们介绍了问题的分层方法，我们称之为“夹心”。具体而言，minima-saddle持久性对（$ d_0（f）$）和鞍 - 最大持久对（$ d_ {d-1}（f）$）是通过与Union-Find-Find-Find-Find-Find-Find-Find-Find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find of nourstable组的1个有效计算的。 - addles和（D-1）addles的稳定集。尺寸为0和（D-1）的快速处理进一步减少，并且大幅度降低了$ d_1（f）$，即三明治的中间层的计算$ d_1（f）$的关键简单数量。第三，我们通过共享记忆并行性记录了几个绩效改进。我们为可重复性目的提供了算法的开源实施。我们还贡献了一个可重复的基准软件包，该基准软件包利用了公共存储库中的三维数据，并将我们的算法与各种公开可用的实现进行了比较。广泛的实验表明，我们的算法提高了两个数量级，即它扩展的开创性“ Paircells”算法的时间性能。此外，它还改善了14种竞争方法的选择，改善了记忆足迹和时间性能，比最快的可用方法具有可观的增长，同时产生了严格的输出。我们通过应用于表面，音量数据和高维点云的持续性一维发电机的快速和稳健提取的应用来说明我们的贡献实用性。
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