Persistent homology, a powerful mathematical tool for data analysis, summarizes the shape of data through tracking topological features across changes in different scales. Classical algorithms for persistent homology are often constrained by running times and memory requirements that grow exponentially on the number of data points. To surpass this problem, two quantum algorithms of persistent homology have been developed based on two different approaches. However, both of these quantum algorithms consider a data set in the form of a point cloud, which can be restrictive considering that many data sets come in the form of time series. In this paper, we alleviate this issue by establishing a quantum Takens's delay embedding algorithm, which turns a time series into a point cloud by considering a pertinent embedding into a higher dimensional space. Having this quantum transformation of time series to point clouds, then one may use a quantum persistent homology algorithm to extract the topological features from the point cloud associated with the original times series.
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量子计算为某些问题提供了指数加速的潜力。但是，许多具有可证明加速的现有算法都需要当前不可用的耐故障量子计算机。我们提出了NISQ-TDA，这是第一个完全实现的量子机学习算法，其在任意经典（非手动）数据上具有可证明的指数加速，并且仅需要线性电路深度。我们报告了我们的NISQ-TDA算法的成功执行，该算法应用于在量子计算设备以及嘈杂的量子模拟器上运行的小数据集。我们从经验上证实，该算法对噪声是可靠的，并提供了目标深度和噪声水平，以实现现实世界中问题的近期，无耐受耐受性的量子优势。我们独特的数据加载投影方法是噪声鲁棒性的主要来源，引入了一种新的自我校正数据加载方法。
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拓扑方法可以提供一种提出新的指标和审查数据的方法的方法，否则可能会忽略这一点。在这项工作中，将引入一种量化数据形状的方法，通过称为拓扑数据分析的主题。拓扑数据分析（TDA）中的主要工具是持续的同源性。持续的同源性是一种在长度范围内量化数据形状的方法。在这项工作中简要讨论了所需的背景和计算持续同源性的方法。然后，来自拓扑数据分析的思想被用于非线性动力学，以通过计算其嵌入维度，然后评估其一般拓扑来分析一些常见的吸引子。还将提出一种方法，该方法使用拓扑数据分析来确定时间延迟嵌入的最佳延迟。 TDA还将应用于结构健康监测中的Z24桥案例研究，在该Z24桥梁案例研究中，它将用于仔细检查不同的数据分区，并根据收集数据的条件进行分类。来自拓扑数据分析的度量标准用于比较分区之间的数据。提出的结果表明，损害的存在比温度所产生的影响更大。
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本文旨在通过一种称为拓扑数据分析的方法来讨论一种量化数据“形状”的方法。拓扑数据分析中的主要工具是持续的同源性。这是从简单复合物的同源物中测量数据形状的一种手段，该方法在一系列值范围内计算出来。此处介绍了所需的背景理论和计算持续同源性的方法，并具有针对结构健康监测的应用。这些结果允许拓扑推断和推断高维数据中的功能的能力，否则可能会被忽略。为给定距离参数的数据构建了一个简单复合物。该复合物编码有关数据点局部接近性的信息。可以从这个简单复合物中计算出奇异的同源性值。扩展此想法，为一系列值提供了距离参数，并且在此范围内计算同源性。持续的同源性是在此间隔中如何持续存在数据的同源特征的一种表示。结果是数据的特征。还讨论了一种允许比较不同数据集的持续同源性的方法。
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在本文中，我们使用拓扑数据分析技术来构造合适的神经网络分类器，用于根据其参考指定系统来构建整个发电厂的传感器信号的任务。我们使用持久性图的表示来推导必要的预处理步骤并可视化大量数据。我们使用一维卷积层的深度架构，与堆叠的长短期存储器相结合，作为适合于处理持久性特征的剩余网络。我们组合了三个单独的子网，获得了输入时间序列本身和零级持续同源的表示。我们为大多数使用的超参数提供了数学推导。为了验证，使用来自相同结构类型的四个发电厂的传感器数据进行数值实验。
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即使在数十年的量子计算开发之后，通常在经典同行中具有指数加速的通常有用量子算法的示例是稀缺的。线性代数定位量子机学习（QML）的量子算法中的最新进展作为这种有用的指数改进的潜在来源。然而，在一个意想不到的发展中，最近一系列的“追逐化”结果同样迅速消除了几个QML算法的指数加速度的承诺。这提出了关键问题是否是其他线性代数QML算法的指数加速度持续存在。在本文中，我们通过该镜头研究了Lloyd，Garnerone和Zanardi的拓扑数据分析算法后面的量子算法方法。我们提供了证据表明，该算法解决的问题通过表明其自然概括与模拟一个清洁量子位模型很难地难以进行棘手的 - 这被广泛认为需要在经典计算机上需要超时时间 - 并且非常可能免疫追逐。基于此结果，我们为等级估计和复杂网络分析等问题提供了许多新的量子算法，以及其经典侵害性的复杂性 - 理论上。此外，我们分析了近期实现的所提出的量子算法的适用性。我们的结果为全面吹嘘和限制的量子计算机提供了许多有用的应用程序，具有古典方法的保证指数加速，恢复了线性代数QML的一些潜力，以成为量子计算的杀手应用之一。
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时间序列分析中产生的最重要的问题之一是分叉或变化点检测。也就是说，给定时间序列的集合在不同的参数上，何时基础动力系统的结构发生了变化？对于此任务，我们转向拓扑数据分析（TDA）的领域，该领域编码有关数据形状和结构的信息。近年来，利用TDA的工具用于信号处理任务（称为拓扑信号处理（TSP）（TSP））的想法在很大程度上通过标准管道获得了很多关注，该标准管道计算出Takens嵌入产生的点云的持久同源性。但是，此过程受到计算时间的限制，因为在这种情况下生成的简单复合物很大，但也有很多冗余数据。因此，我们求助于编码吸引子结构的最新方法，该方法构建了代表有关何时在状态空间区域之间动态系统传递的信息的序数分区网络（OPN）。结果是一个加权图，其结构编码有关基础吸引子的信息。我们以前的工作开始寻找以TDA适合的方式包装OPN信息的方法。但是，这项工作仅使用网络结构，而没有采取任何行动来编码其他加权信息。在本文中，我们采取下一步：构建管道来分析使用TDA的加权OPN，并表明该框架为系统中的噪声或扰动提供了更大的弹性，并提高了动态状态检测的准确性。
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在这项研究中，我们检查了工程拓扑特征是否可以区分平衡和不平衡采样方案中的噪声特征不同的随机过程。我们将分类结果与基于统计和原始功能构建的相同分类任务的结果进行比较。我们得出的结论是，在时间序列的分类任务中，建立在工程拓扑功能上的不同机器学习模型比在标准统计和原始功能上构建的拓扑功能始终如一地表现更好。
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本文通过研究阶段转换的$ Q $State Potts模型，通过许多无监督的机器学习技术，即主成分分析（PCA），$ K $ - 梅尔集群，统一歧管近似和投影（UMAP），和拓扑数据分析（TDA）。即使在所有情况下，我们都能够检索正确的临界温度$ t_c（q）$，以$ q = 3,4 $和5 $，结果表明，作为UMAP和TDA的非线性方法依赖于有限尺寸效果，同时仍然能够区分第一和二阶相转换。该研究可以被认为是在研究相转变的调查中使用不同无监督的机器学习算法的基准。
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适当地表示数据库中的元素，以便可以准确匹配查询是信息检索的核心任务；最近，通过使用各种指标将数据库的图形结构嵌入层次结构的方式中来实现。持久性同源性是一种在拓扑数据分析中常用的工具，能够严格地以其层次结构和连接结构来表征数据库。计算各种嵌入式数据集上的持续同源性表明，一些常用的嵌入式无法保留连接性。我们表明，那些成功保留数据库拓扑的嵌入通过引入两种扩张不变的比较措施来捕获这种效果，尤其是解决了对流形的度量扭曲问题。我们为它们的计算提供了一种算法，该算法大大降低了现有方法的时间复杂性。我们使用这些措施来执行基于拓扑的信息检索的第一个实例，并证明了其在持久同源性的标准瓶颈距离上的性能提高。我们在不同数据品种的数据库中展示了我们的方法，包括文本，视频和医学图像。
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本文介绍了用于持久图计算的有效算法，给定一个输入分段线性标量字段f在D上定义的d二维简单复杂k，并带有$ d \ leq 3 $。我们的方法通过引入三个主要加速度来扩展开创性的“ Paircells”算法。首先，我们在离散摩尔斯理论的设置中表达了该算法，该算法大大减少了要考虑的输入简单数量。其次，我们介绍了问题的分层方法，我们称之为“夹心”。具体而言，minima-saddle持久性对（$ d_0（f）$）和鞍 - 最大持久对（$ d_ {d-1}（f）$）是通过与Union-Find-Find-Find-Find-Find-Find-Find-Find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find of nourstable组的1个有效计算的。 - addles和（D-1）addles的稳定集。尺寸为0和（D-1）的快速处理进一步减少，并且大幅度降低了$ d_1（f）$，即三明治的中间层的计算$ d_1（f）$的关键简单数量。第三，我们通过共享记忆并行性记录了几个绩效改进。我们为可重复性目的提供了算法的开源实施。我们还贡献了一个可重复的基准软件包，该基准软件包利用了公共存储库中的三维数据，并将我们的算法与各种公开可用的实现进行了比较。广泛的实验表明，我们的算法提高了两个数量级，即它扩展的开创性“ Paircells”算法的时间性能。此外，它还改善了14种竞争方法的选择，改善了记忆足迹和时间性能，比最快的可用方法具有可观的增长，同时产生了严格的输出。我们通过应用于表面，音量数据和高维点云的持续性一维发电机的快速和稳健提取的应用来说明我们的贡献实用性。
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量子计算有可能彻底改变和改变我们的生活和理解世界的方式。该审查旨在提供对量子计算的可访问介绍，重点是统计和数据分析中的应用。我们从介绍了了解量子计算所需的基本概念以及量子和经典计算之间的差异。我们描述了用作量子算法的构建块的核心量子子程序。然后，我们审查了一系列预期的量子算法，以便在统计和机器学习中提供计算优势。我们突出了将量子计算应用于统计问题的挑战和机遇，并讨论潜在的未来研究方向。
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无监督的特征学习通常会发现捕获复杂数据结构的低维嵌入。对于专家的任务可获得专家，将其纳入学习的代表可能会导致更高质量的嵌入品。例如，这可以帮助人们将数据嵌入给定的簇数，或者容纳阻止一个人直接在模型上衍生数据分布的噪声，然后可以更有效地学习。然而，缺乏将不同的先前拓扑知识集成到嵌入中的一般工具。虽然最近已经开发了可微分的拓扑层，但可以（重新）形状嵌入预定的拓扑模型，他们对代表学习有两个重要的局限性，我们在本文中解决了这一点。首先，目前建议的拓扑损失未能以自然的方式代表诸如群集和耀斑的简单模型。其次，这些损失忽略了对学习有用的数据中的所有原始结构（例如邻域）信息。我们通过引入一组新的拓扑损失来克服这些限制，并提出其用法作为拓扑正规规范数据嵌入来自然代表预定模型的一种方法。我们包括彻底的综合和实际数据实验，突出了这种方法的有用性和多功能性，其中应用范围从建模高维单胞胎数据进行建模到绘图嵌入。
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在发育过程中，细胞细胞共同居住与其新兴动态之间没有常规关联，这阻碍了我们对细胞种群如何扩散，分化和竞争的理解，即细胞生态学。随着单细胞RNA-Sequencing（RNA-Seq）的最新进展，我们可以通过构造表征细胞特异性转录程序基因表达谱的相似性的网络图来描述这种链接，并分析这些图系统地使用代数拓扑信息的摘要统计数据。我们提出了单细胞拓扑简单分析（SCTSA）。将这种方法应用于不同发展阶段的不同发育阶段的局部细胞网络的单细胞基因表达谱，这揭示了以前看不见的细胞生态拓扑结构。这些网络包含大量的单细胞剖面丛中的腔体，这些腔体指导了更复杂的居住形式的出现。与无效模型相比，我们使用这些网络的拓扑简单架构可视化这些生态模式。斑马鱼胚胎发生的单细胞RNA-seq数据跨越了38,731个细胞，25种细胞类型和12个时间步，我们的方法突出了胃肠道是最关键的阶段，与发育生物学的共识一致。作为非线性，独立和无监督的框架，我们的方法也可以应用于追踪多规模的细胞谱系，识别关键阶段或创建伪时间序列。
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持续的同源性（PH）是拓扑数据分析中最流行的方法之一。尽管PH已用于许多不同类型的应用程序中，但其成功背后的原因仍然难以捉摸。特别是，尚不知道哪种类别的问题最有效，或者在多大程度上可以检测几何或拓扑特征。这项工作的目的是确定pH在数据分析中比其他方法更好甚至更好的问题。我们考虑三个基本形状分析任务：从形状采样的2D和3D点云中检测孔数，曲率和凸度。实验表明，pH在这些任务中取得了成功，超过了几个基线，包括PointNet，这是一个精确地受到点云的属性启发的体系结构。此外，我们观察到，pH对于有限的计算资源和有限的培训数据以及分布外测试数据，包括各种数据转换和噪声，仍然有效。
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由于量子电路上的旋转组件，基于变异电路的某些量子神经网络可以被认为等于经典的傅立叶网络。另外，它们可用于预测连续函数的傅立叶系数。时间序列数据表示时间变量的状态。由于某些时间序列数据也可以视为连续功能，因此我们可以期望量子机学习模型能够在时间序列数据上成功执行许多数据分析任务。因此，重要的是研究用于时间数据处理的新量子逻辑并分析量子计算机上数据的内在关系。在本文中，我们通过使用需要几个量子门的简单量子运算符，浏览经典数据预处理和对Arima模型进行预测的量子类似物。然后，我们讨论未来的方向和一些可用于量子计算机时间数据分析的工具/算法。
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传统上，从眼动数据中提取模式取决于不同宏观事件（例如固定和扫视）的统计数据。这需要一个额外的预处理步骤，以分离眼睛运动亚型，通常具有许多参数，分类结果取决于这些参数。除此之外，此类宏事件的定义由不同的研究人员以不同的方式提出。我们建议将一类新功能应用于个人眼运动轨迹结构的定量分析。这一新的基于代数拓扑的特征允许从不同凝视方式的不同方式中提取图案，例如坐标和振幅，热图和点云的时间序列，以从微观到宏的各种规模。我们在实验上证明了新功能与传统功能的竞争力及其重要协同作用，同时在最近发表的眼动轨迹数据集中一起用于人身份验证任务。
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最近有一项激烈的活动在嵌入非常高维和非线性数据结构的嵌入中，其中大部分在数据科学和机器学习文献中。我们分四部分调查这项活动。在第一部分中，我们涵盖了非线性方法，例如主曲线，多维缩放，局部线性方法，ISOMAP，基于图形的方法和扩散映射，基于内核的方法和随机投影。第二部分与拓扑嵌入方法有关，特别是将拓扑特性映射到持久图和映射器算法中。具有巨大增长的另一种类型的数据集是非常高维网络数据。第三部分中考虑的任务是如何将此类数据嵌入中等维度的向量空间中，以使数据适合传统技术，例如群集和分类技术。可以说，这是算法机器学习方法与统计建模（所谓的随机块建模）之间的对比度。在论文中，我们讨论了两种方法的利弊。调查的最后一部分涉及嵌入$ \ mathbb {r}^ 2 $，即可视化中。提出了三种方法：基于第一部分，第二和第三部分中的方法，$ t $ -sne，UMAP和大节。在两个模拟数据集上进行了说明和比较。一个由嘈杂的ranunculoid曲线组成的三胞胎，另一个由随机块模型和两种类型的节点产生的复杂性的网络组成。
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拓扑数据分析（TDA）研究数据的形状模式。持续同源性（pH）是TDA中广泛使用的方法，其总结了多个尺度的数据的同源特征，并将它们存储在持久图（PDS）中。在本文中，我们提出了一种随机持久性图（RPDG）方法，其生成从数据产生的那些随机PDS序列。RPDG由（i）基于对持久性图推断的成对交互点处理的模型，并通过可逆跳转马克可蒙特卡罗（RJ-MCMC）算法来生成PDS样本。基于合成数据集的第一示例演示了RPDG的功效，并提供了与用于采样PDS的其他现有方法的详细比较。第二个例子演示了RPDG求解材料科学问题的效用，给出了小样本大小的真实数据集。
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与小组元素的作用一样，在数学中通常用于分析或利用给定问题设置中固有的对称性。在这里，我们提供有效的量子算法，用于对存储为量子状态的数据进行线性组卷积和互相关。我们的算法的运行时间在组的维度上是对数，因此与经典算法相比，当输入数据作为量子状态和线性操作提供良好的条件时，提供了指数加速。我们的理论框架是出于解决代数问题的量子算法的丰富文献，为量化机器学习和采用小组操作的数值方法中的许多算法开辟了一条途径。
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